‹ Alle Einträge

Die Mathematik des fairen Verhandelns

 

In letzter Zeit war viel vom fairen Verhandeln die Rede: Die griechische Regierung und die europäischen Geldgeber ringen seit Wochen um eine Einigung im Schuldenstreit. Dabei versuchen sich beide Seiten anzunähern und dennoch das Bestmögliche für sich herauszuholen. Aber wie findet man einen fairen Kompromiss, wenn beide Seiten unterschiedliche Prioritäten haben? Die Antwort ist – zumindest im mathematischen Modell – einfach.

Angenommen, zwischen zwei Verhandlungspartnern gibt es mehrere strittige Punkte. Jede Seite kann bei jedem Punkt nachgeben oder auch nicht. Beide Seiten haben ihre eigene Rangliste: Vorne auf der Liste steht jeweils der strittige Punkt, bei dem es dem jeweiligen Verhandlungspartner am wichtigsten ist, sich durchzusetzen. Ganz hinten ist der Punkt gelistet, bei dem man am ehesten bereit ist nachzugeben. Das Verhandlungsproblem ist dann ein Aufteilungsproblem: Welche Punkte “bekomme” ich, das heißt, wo gibt der Gegenspieler nach. Und welche Punkte “bekommt” der Gegenspieler, wo gebe ich also nach.

Betrachten wir das einmal spielerisch für zwei Akteure, Anne (A) und Bert (B), die sich darüber einig werden sollen, wer welches von acht geschmacklich unterschiedlichen Bonbons bekommt.

Anne und Bert erstellen zuerst jeder für sich eine Rangliste der acht Bonbons, mit dem Lieblingsbonbon ganz vorne. Wir können Annes Bonbonliste mit 12345678 durchnummerieren. Und mit dieser Nummerierung der Bonbons sei Berts Liste 17263485. Beiden ist also dasselbe Bonbon am wichtigsten.

Beide Ranglisten seien beiden Kontrahenten bekannt. Beide wollen das, was am Ende für sie rausspringt, optimieren. Das führt zu Überlegungen wie beim Schachspiel. Jeder muss nicht nur die eigene Rangliste der Bonbons, sondern auch die des Gegenübers bedenken: Welches Bonbon nimmt der Gegner, wenn ich dieses Bonbon nehme, nachdem er jenes Bonbon genommen hat, nachdem ich zuvor … ?

Solche Überlegungen können schnell sehr kompliziert werden. Daher ein Tipp: Die optimale Strategie lässt sich leichter finden, wenn man beide Ranglisten von hinten nach vorne abarbeitet.

Doch bevor wir uns diese sogenannte Bottom-up-Strategie näher anschauen, gehen wir noch einen Schritt zurück: Wie fair das Ergebnis am Ende sein wird, hängt nämlich auch davon ab, wer in welcher Reihenfolge auswählen darf: Beim einfachen Abwechseln, also zum Beispiel AB AB AB AB, ist der zweite gegenüber dem zuerst Wählenden bei jedem Auswahlpaar im Nachteil. Das wird ganz deutlich, wenn durch Abwechseln unterschiedlich große Kuchenstücke aufgeteilt werden. In jeder Runde kann der, der zuerst wählt, ein größeres Stück einheimsen, als der andere. Und beim ständigem Abwechseln ist das unfairerweise immer ein und dieselbe Person. Wir hatten dies in einem früheren Blog-Beitrag bereits diskutiert.

Beim sogenannten balancierten Abwechseln geht es gerechter zu. Wir wählen für unser Bonbon-Beispiel daher die Reihenfolge AB BA BA AB. Per Los wurde entschieden, wer zuerst ein Bonbon aussuchen darf. In diesem Fall ist Anne zuerst am Zug. Dann wählt Bert zweimal, Anne einmal, Bert einmal, Anne zweimal und Bert einmal.

Jetzt kommt ein wichtiger Gedanke: Bert wird immer jenes Bonbon erhalten, das auf Annes Rangliste Platz 8 einnimmt. Denn bei optimalem Verhalten wird Anne es nie selbst wählen. Und Bert bei optimalem Verhalten auch nicht, denn es wird ihm als letztes Bonbon ohnehin zufallen. Ebenso wird Anne am Ende das Bonbon bekommen, das auf Berts Liste ganz hinten steht. Sie sollte es optimalerweise also erst bei ihrem letzten Zugriff nehmen, ganz egal, wo sie es auf ihrer eigenen Liste platziert hat.

Wie Anne und Bert jeweils in ihrem letzten Schritt entscheiden sollten steht damit fest; die beiden entsprechenden Süßigkeiten können also von beiden Ranglisten gestrichen werden. Es bleiben sechs Bonbons, die es aufzuteilen gilt. Das Problem ist nun wieder das gleiche, nur eben mit zwei Bonbons weniger. Also wenden wir die gleiche Denkweise an wie oben. Jetzt allerdings mit Anne als Erstwählerin, denn in unserer Analyse gehen wir in der Abfolge AB BA BA AB von hinten nach vorne.

Durch schrittweises Streichen von Bonbons arbeiten sich Anne und Bert bis zu ihrer ersten Wahlmöglichkeit vor. Dann sind alle Bonbons verteilt. Spielen wir auf diese Weise unser Beispiel durch:

Bert wird als letztes Bonbon 8 erhalten, das Bonbon ganz hinten auf Annes Liste 12345678. Streichen wir dieses Bonbon und betrachten Berts Liste ohne die 8, also 1726345. Das hinterste Bonbon darauf ist 5. Nach der obigen Logik bekommt Anne dieses Bonbon als nächstes. Und sie darf ja zweimal zugreifen, also bekommt sie noch die 4. Berts vorletzte Wahl bezieht sich nun auf Annes verkürzte Liste: 12367. Er nimmt Bonbon 7. Streichen wir auch dieses von Berts Liste, erhalten wir 1263. Anne erhält somit Bonbon 3. Und so geht es schrittweise zurück bis zu Berts erstem Zugriff (er nimmt Bonbon 2) und Annes erstem Zugriff (Bonbon 1). Dieser Auswahlvorgang erzeugt das, was Mathematiker ein Nash-Gleichgewicht nennen: Weder Anne noch Bert können davon abweichen, ohne sich zu verschlechtern.

Im Endergebnis hat Anne ihre 1., 3., 4., 5. Priorität erhalten und Bert bekommt die Bonbons mit den Nummern 2, 6, 7, 8. Diese sind seine 2., 3., 4. und 7. Priorität. Fairer geht es bei ihren Präferenzlisten nicht. Anne hat einen winzigen Vorteil, aber sie hat ja auch den Losentscheid gewonnen.

Ganz so einfach lässt sich der Kompromiss zwischen der griechischen Regierung und der EU freilich nicht finden. Aber entsprechend angepasst ist das ein mathematischer Ansatz, der die Verhandlungen zumindest auf eine faire Grundlage stellen könnte.

26 Kommentare

  1.   Betty P.

    Das funktioniert aber nur, wenn beide Seiten ihre Präferenzliste offen legen. Und schon daran werden viele Verhandlungen scheitern.

  2.   gorgo

    Super, hat mir einiges klargemacht – frage mich nur, wie das bei drei Leuten aussieht?
    Kann man das dann noch umsetzen? Vom Ende der Liste zu beginnen, ist vermutlich auch in dem Fall sinnvoll…

    Mir wäre aber schon geholfen zu wissen, wie ein ausbalanciertes Abwechseln bei drei Personen auszusehen hätte?
    Bin gespannt, ob mir jemand dazu was schreiben kann – vielleicht der Autor?


  3. Zitat:
    “Weder Anne noch Bert können davon abweichen, ohne sich zu verschlechtern.”

    Alles Quatsch. Auf Kosten des Anderen kann man sich immer verbessern!
    Man muss den Wettbewerb auf ein Gebiet verlagern, wo man gut ist.
    Anne hat zwar das Los gewonnen und den ersten Zug, dafür hat Bert die stärkere Schlagkraft ihr die Fresse zu polieren.
    Es gibt keine isolierten Spiele die nur für sich existieren.
    Nur in der Theorie oder im Labor.
    In der Praxis ändern sich die Kampfschauplätze und Auseinandersetzungen, und weiten sich auf andere Gebiete aus.

    Oder mit den Worten des preußischen Generalmajors Clausewitz:
    “Krieg ist die Fortsetzung der Politik mit anderen Mitteln”


  4. Das ist nur richtig, wenn man sich in der Mitte treffen will und wenn beide Prioritätenlisten gleichwertig sind. Im Fall Griechenland hatten wir schon eine Abmachung und Griechenland möchte davon abweichen. D.h. es gab schon ein Gleichgewicht und Griechenland möchte dieses Gleichgewicht verändern. Generell müsste man auch die Prioritäten gewichten, sonst bräuchte Bert nur als erste Priorität sagen, ich möchte alles haben.

  5.   F W

    Man koennte die Bonbons auch ueber die Minimierung der Summe ihrer Prioritaeten A und B zuteilen, ohne A und B waehlen zu lassen.

    Die Annahme hierbei ist, dass die jeweiligen Personen am besten gestellt sind, wenn die Summer ihrer Prioritaeten am kleinsten ist. Das Optimum fuer A und B waere jeweils die Prioritaeten 1.-4. zu erhalten, was eine Summe von 10 ergeben wuerde. Da diese Verteilung nicht moeglich ist ohne eine der beiden Personen viel schlechter zu stellen, muessen beide Prioritaetenlisten gemeinsam optimiert werden. A erhaelt demnach ihre Prioritaeten 2., 3., 4., und 5., waehrend B seine Prioritaeten 1., 2., 4. und 7. erhaelt. A und B haben hierbei jeweils Prioritaetensummen von 14 (2+3+4+5 und 1+2+4+7), gemeinsam also 28. Im Beispiel aus dem Text erhalten die beiden Summen von 13(A) und 16(B), gemeinsam also 29.

    Die ganze Logik setzt natuerlich voraus, dass die beiden Personen den Wert ihrer Prioritaeten linear gewichten.


  6. @gorgo Mit der Unix-Befehlszeile
    $ echo A B C | permute | permute
    und etwas Formatierung erhalten Sie in Windeseile
    ABC BAC ACB CAB BCA CBA ACB CAB ABC BAC CBA BCA BAC ABC BCA CBA ACB CAB BCA CBA BAC ABC CAB ACB CAB ACB CBA BCA ABC BAC CBA BCA CAB ACB BAC ABC
    sofern Sie vorher ein Programm permute geschrieben haben :^)


  7. Nun, den Versuch Fairnis auf die Politik zu übertragen gibt es schon seit Jahrzehnten. Es ist der Versuch, Parteiarbeit fairer im Sinne von mehr Demokratie zu machen. Als Beispiel:
    http://www.gästezimmer-sandstedt.de/Partei/

  8.   Esteban

    In Anbetracht der Tatsache, dass sich Yanis Varoufakis als Professor für Ökonomie und Wirtschaftsmathematik gut mit der Spieltheorie auskennen sollte, fallen mir nur drei Gründe für die bisherige griechische Verhandlungsstrategie ein:
    1. Es war gar nicht geplant, eine Einigung zu erzielen.
    2. Es wurde gar kein Nash-Gleichgewicht angestrebt, sondern eine Lösung, die Griechenland besser stellt als viele andere Euro-Länder.
    3. Varoufakis ist zwar Wirtschaftsmathematiker, hat aber keine Ahnung von Spieltheorie.

    Da ich den 2. Grund für den plausibelsten halte, wäre eine passendere spieltheoretische Beschreibung die des Chicken Game: “Wer zuerst ausweicht, verliert – weicht aber keiner aus, kommt es zum Totalschaden.”

    @gorgo: Für drei Personen wäre ABC BCA CAB schon mal ein guter Anfang.

  9.   Marcel Keller

    Das Teilen zwischen einem der alles hat und einem der nichts hat dürfte schwieriger sein.

  10.   1iglupedi

    Sehr interessant, dieser “Nimm 2″-Weiterführungsartikel, Herr Hesse…echt Storck ;-)

    Anne und Bert sind ein Dyadensystem mit zwei Individualteilnehmern.
    Nun sind aber die griechische Regierung und die EU-Gruppe ein Dyadensystem mit jeweils wie vielen Komponenten???

    Das ist nicht miteinander vergleichbar. Die griechische Regierung stellt sich als eine “Einzelperson” dar, oder genauer gesagt, wird als eine Einzelperson dargestellt, die der “Euro-Gruppe” gegenübersteht.

    Ein Simile dazu, die Schüler-Lehrer-Beziehung, stellt keine Zweierbeziehung dar, sondern eine Beziehung zwischen einer Gruppe als Ansammlung von Personen und einer Einzelperson. Der Lehrer versucht, die Schüler für die schulisch spezifischen Verhaltensweisen und Leistungen zu sozialisieren. Solange die Interaktion (Wechselbeziehung) zwischen beiden Parteien noch funktioniert, muss aber der Lehrer auf seine Klasse eingehen. Er wird sein Verhalten auf die Reaktionen der Klasse einstimmen und verschiedene Wege versuchen, seine Sozialisationsziele durchzusetzen. Diese Interaktion ist störanfällig, weil Schüler monotone und auch lebensfremde Aktionsformen, wie sie der heutige Unterricht notgedrungen hervorbringt, gern durchbricht. Die Schüler sitzen zwar noch an ihren Plätzen, aber sie haben sich in Teilgruppen strukturiert, die für sich agieren.

    Inspiriert hat mich hier der Text auf Seite(n) 75/76 “Entwicklung und Sozialisation” von Rolf Oerter.

    Nur dass die “Leckerli” hier Noten sind und keine Bonbons.

    Anpassung und Selbstdurchsetzung. Die Teilkomponenten der Europäischen Union (tolle “Einheit”!)…sind keine Einzelpersonen, aber Individualsysteme. Sie verfolgen nicht das gleiche Ziel, und deswegen sind Konflikte vorprogrammiert. Im Großen wie im Kleinen. Widersprüchlichkeit, Konflikt und die Notwendigkeit, gegensätzliche Anforderungen zu vereinen, bilden somit eine Basis menschlicher Entwicklung. Und Menschen kommen nur in Gruppen vor, die treten nur in Rudeln auf ;-)…das Spiel wird sich ‘nen Wolf laufen…denn aus dem System ist eins ausgebrochen. Das System wird sich wandeln müssen und dann ist die EU auch ungleich Europäische Währungsunion…zwei Räume, in dem einen gilt das Gesetz des anderen nicht…viel Spaß beim Ausrechnen :-))))

    http://wikiludia.mathematik.uni-muenchen.de/wiki/index.php?title=Verhandlungsspiele

    http://www.staff.uni-oldenburg.de/oskar.vondemhagen/spieltheorie/4-kooperativ.pdf

    Chaos ist in Ordnung. Es ist Bewegung im System, und die Miesen werden von einer Seite auf die andere verteilt, das geht nicht endlich weiter, oder doch?

    Manche Spezialfälle können eine Lösung des Problems beinhalten, dazu muss man aber genau hinschauen und verschiedene Sprachen…äääh…äs gibt viel zu tun, nix wie wech…könnt ja in Arbeit ausarten. In der Theorie geht nix über ne gute Praxis, und wenn sich das nicht anwenden lässt, nützt die ganze schöne Theorie niemandem auch nur irgendetwas. Boah, ne Wahnsinnsdynamik. Faszinierend…