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Schnellrechnen-Schnellkurs (Teil 6)

 

In den bisherigen Beiträgen zum Schnellrechnen haben wir uns mit verschiedenen Arten des Multiplizierens beschäftigt. Heute gilt unser Interesse dem Wurzelziehen. Radizieren nannte man das früher und es ist die Umkehrung des Potenzierens. Etwas genauer gesagt, geht es um Quadratwurzeln. Für eine Zahl Z ist das diejenige Zahl W, die mit sich selbst multipliziert Z ergibt, also die Gleichung W x W = Z erfüllt.

Die Zahl Z = 9, zum Beispiel, hat die Wurzel W = 3. Eine weitere Wurzel ist -3, denn auch (-3) x (-3) = 9. Die beiden Wurzeln der Quadratzahl 9 sind also ganze Zahlen. Das ist einer der möglichen Fälle. Schon der griechische Mathematiker Theaitetos von Athen (zirks 417 bis 369 vor Christus) hat um 380 vor Christus bewiesen, dass alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen entweder ganz oder irrational sind. Irrational ist eine Zahl, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Dann ist sie eine Kommazahl mit unendlich vielen, sich nicht wiederholenden Dezimalen.

Rasantes Radizieren leicht gemacht

Wir werden sehen, dass Hochgeschwindigkeitswurzelziehen für bis zu fünfstelligen Quadratzahlen leicht möglich ist. Das sind die Situationen, in denen das Wurzelziehen glatt aufgeht und die Wurzeln höchstens dreistellig sind. Dieses rasante Radizieren geht in weniger als zwei Atemzügen. Sehen Sie selbst:

Die positive Wurzel W einer Quadratzahl Q lässt sich in zwei Schritten ziehen:

1. Schritt: Streichen Sie die letzten beiden Stellen von Q, also die Einer- und die Zehnerstelle, und suchen Sie die größte Zahl G, die quadriert kleiner oder gleich der dann erhaltenen Zahl Z ist. G bildet die ersten Stellen der Lösung W.
2. Schritt: Betrachten Sie die Einerstelle E der Quadratzahl Q. Mit ihr bekommen Sie die letzte Ziffer L der Lösung, die dann einfach nur noch an G angefügt werden muss, um die Wurzel zu erhalten. Das geht so:

Ist E = 0, dann ist L = 0
Ist E = 1, dann ist L = 1 oder L = 9
Ist E = 4, dann ist L = 2 oder L = 8
Ist E = 5, dann ist L = 5
Ist E = 6, dann ist L = 4 oder L = 6
Ist E = 9, dann ist L = 3 oder L = 7

Warum das so ist, dürfte klar werden, wenn man die Zahlen L = 0 bis L = 9 quadriert. Der Liste ist zu entnehmen, dass es meist zwei mögliche Endziffern für die Lösung gibt, außer wenn E = 0 oder E = 5 ist. Um zu sehen, ob die kleinere oder die größere der beiden Endziffern zur richtigen Lösung führt, geht man so vor: Man nehme das Ergebnis G von Schritt 1 und multipliziere es mit G + 1. Ist das Produkt G x (G + 1) größer als der Anfangsabschnitt Z, so ist die kleinere Zahl die richtige Endziffer. Andernfalls ist es die größere Zahl.

Das hört sich alles ziemlich theoretisch und sogar vertrackt an, geht aber ausgesprochen schnell.
Nehmen wir die Quadratzahl 841.

Streichen, Abgleichen, Multiplizieren

Streichen wir die letzten beiden Stellen, so bleibt nur die 8 übrig. Die größte ganze Quadratzahl, die nicht größer als 8 ist, ist 4 = 2 x 2. Somit haben wir die Anfangsziffer der Wurzel aus 841 gefunden. Es ist die 2. Da 841 als letzte Ziffer eine 1 hat, muss nach obiger Liste die letzte Ziffer der Wurzel entweder eine 1 oder eine 9 sein. Um die richtige zu finden, bilden wir das Produkt 2 x 3 = 6, was kleiner als die Anfangsziffer 8 ist. Demnach ist die größere Zahl 9 die letzte Ziffer der Lösung, die deshalb 29 lautet. Und in der Tat zeigt eine kleine Rechnung mit unseren früheren Methoden des schnellen Multiplizierens, dass 29 x 29 = 841 ist.

Unser zweites Beispiel ist die Zahl 3.844.
Wir wissen, dass die Quadratwurzel aus dieser Zahl wiederum zweistellig ist. Das Streichen der letzten beiden Ziffern von 3844 ergibt 38. Da 6 x 6 = 36 die nächstliegende, nicht größere Quadratzahl ist, erhalten wir eine 6 als erste Ziffer der Lösung. Da die letzte Ziffer von 3.844 eine 4 ist, kommt als zweite Ziffer der Lösung nur eine 2 oder eine 8 in Frage. Da aber 6 x 7 = 42 größer als 38 ist, muss es die 2 sein und unsere Lösung lautet 62.

Als drittes Beispiel nehmen wir die fünfstellige Zahl 19.321.
Der erste Schritt führt auf 193 und wegen 13 x 13 =169, aber 14 x 14 = 196, bekommen wir 13 als Anfangsabschnitt der Lösung. Da die letzte Ziffer von 19321 eine 1 ist, muss die letzte Ziffer der Lösung eine 1 oder eine 9 sein. Da 13 x 14 = 182 kleiner als 193 ist, muss es sich um die 9 handeln und unsere Lösung ist 139.

Haben Sie Lust, es selbst zu probieren? Welches sind die positiven Wurzeln von:

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26 Kommentare

  1.   Blinki2

    Sehr interessant und eine gute Möglichkeit zum schnellen Wurzelziehen.

    Ein kleiner Fehler ist aber im Text:
    „Die Zahl Z = 9, zum Beispiel, hat die Wurzel W = 3. Eine weitere Wurzel ist -3, denn auch (-3) x (-3) = 9.“

    Die Wurzel aus einer Zahl ist immer positiv! Das wurde so festgelegt. Damit bei Gleichungen wie x²=9 auch -3 als Lösung rauskommt (darauf bezieht sich das Zitat), schreibt man vor die Wurzel ein Plus und ein Minus, aber die Wurzel selber ist erstmal positiv.

  2.   MrWho

    Äh… ich bin kein Fan von Rechenregeln, die auf wenige Fälle anwendbar sind, das ist wie mit Eselsbrücken, wo das Merken der Eselsbrücke genauso schwer ist wie der Sachverhalt selbst.

    Die Wurzel ist eine streng monotone Funktion und damit kommt man zur allgemeinen Berechnung im Dezimalsystem immer noch am weitesten, wenn man wie im ersten Schritt eine gerade Anzahl Stellen abschneidet, genauer die Einordnung in die Relation 0 < 100 < 10000 < 10^6 < 10^8 < 10^10 usw. vornimmt, dann die verbleibende (max 2-stellige) Zahl wiederum zwischen 1 < 4 < 9 … < 81 < 100 einordnet, um das Quadrat der einstelligen ganzzahligen Mantisse zu ermitteln. Usw.

    In der Schule hat mir fürs schnelle Rechnen übrigens geholfen, dass die Differenz zwischen den Quadraten zweier benachbarter natürlicher Zahlen immer die Summe dieser Zahlen ist. Ebenfalls allgemeingültig, da (n+1)^2 = n^2 + n + (n+1). Damit kann man sich von "leichten" oder bereits bekannten Quadratzahlen wie denen der Zehnerpotenzen schnell zu schwierigeren hangeln.

  3.   c1900

    Die Quadratwurzel aus 9 ist 2, Ende. Die Wurzel ist ausschließlich positiv definiert! Aus der Aussage x^2 = 9 folgt zwar x = -3 v x = 3, aber nicht WURZEL(x^2) = +-3

  4.   Maria

    Was mache ich aber, wenn E= 3 oder 7 oder 8?

  5.   Gluon137

    Das ist ein sehr schöner Trick. Bitte nicht von destruktiven Kommentaren demotivieren lassen, ich freue mich schon auf den nächstn Trick.

  6.   Gluon137

    @c1900 „Die Quadratwurzel aus 9 ist 2, Ende.“ Ich dachte, dass das 3 wäre. Kannste mal gucken.

  7.   Gluon137

    @maria E kann nicht 2,3 oder 7 werden, da keine Quadratzahl auf 2,3 oder 7 endet.

  8.   HeimlichDurchNullTeiler

    > Die Quadratwurzel aus 9 ist 2, Ende.
    Ende der Diskussion, c1900 hat es auf den Punkt gebracht :P

  9.   1iglupedi

    Bääääh, Rechnen!!! *ich mag lieber Mathematik. Auch wenn ich davon keine Ahnung hab…wenn mich jemand fragt, wie rechnet man das, sag ich: Sorgfältig…*

    Ich stell mir beim Wurzelziehen einfach ein Quadrat vor, von dem ich die Seitenlänge brauch. Also muss ich theopraktisch die Flächengröße kennen und dann „umkonstruieren“…

    Hab mal gelesen, dass Heron von Alexandria sowas mit Dreiecken gemacht hat, also Pythagoras rückwärts. Und rechtwinklig brauchen die Dinger auch nicht sein.

    A = Wurzel aus s(s – a) (s – b) (s – c)
    s = 1/2 (a + b + c).

    Da braucht man für die Flächenberechnung nicht mal ne Winkelgröße zu kennen…ich kann mit Zahlen gaanix anfangen. Und mag das Dezimalsystem sowieso nicht. Habe allerdings dazu ein entspanntes Verhältnis aufbauen müssen, da es ja nun mal da ist und allgegenwärtig, ob ichs mag oder nicht.

    Mathematikhistorie interessiert mich. Heron solls von Archimedes gelernt haben und der hats bei den Babyloniern/Sumerern gelernt. Die haben das benutzt für Landvermessung und so. Haben Quadrate geviertelt und dann…so 1700 v. Chr. war das. Hammurapi-Epoche heisst das.

    Mich fasziniert, was „damals“ möglich war, so ganz ohne Technik. Und wie man aus Rechtecken Quadrate machte, um das Übel bei der Wurzel packen zu können. Quadrate sind zwar auch Rechtecke, aber…umgekehrt wird eben kein Schuh draus… macht man aus eins (Quadrat) zwei (Dreiecke), sieht das schon anders aus…2*3 ist dann eben nicht 6, sondern 4 ;-)

  10.   Bernd

    Rechnen ist auch überflüssig, sowas zu können ist nur für den Show und Proll Effekt und das Tagesprogramm eines schlechten Lehrers.

    Würde man in Schulen nicht das Rad immer neu erfinden, könnte man nach dem Studium deutlich mehr. Statt dessen berechnen die Kids Integrale und Funktionen per Hand und erfahren nie was sie da eigentlich tun.

    Gestern erst wieder erlebt, der Junge konnte nach einem Informatik Studium nicht berechnen welche Wohnwand an die Wand mit der Dachschräge passt. Musste für jede Breite immer die Höhe per Zollstock ermitteln :-)