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Schnellrechnen-Schnellkurs (Teil 7)

 

Im letzten Beitrag zum Schnellrechnen haben wir uns mit der Berechnung der Quadratwurzel beschäftigt, wenn das Wurzelziehen aus einer ganzen Zahl glatt aufgeht. Trifft das nicht zu, ist die Wurzel eine nicht abbrechende, sich nicht wiederholende Ziffernfolge. Dann lässt sich mithilfe einer Dezimalzahl bestenfalls eine Annäherung an die Wurzel erreichen – was oft vollkommen genügt. Wie das rasant und elegant geht, sehen wir heute.

Das folgende Verfahren funktioniert in dem Bereich, für den Sie die Quadrate ganzer Zahlen kennen. Nehmen wir an, das sei der Bereich bis zur Zahl 100. Als konkretes Beispiel berechnen wir die Quadratwurzel zu y = 23. Die größte Quadratzahl, die kleiner oder gleich y ist, lautet 16 = 4 x 4. Bei der gesuchten Lösung steht deshalb eine 4 vor dem Komma. Nennen wir diesen ganzzahligen Anteil z. Wir müssen noch den Nachkommaanteil annähern. Dazu schreiben wir die gesuchte Lösung als z + e.

Es ist dann y = (z + e) x (z + e) = z x z + 2z x e + e x e

Da e kleiner als 1 und damit schon recht klein ist, kann e x e gegenüber den anderen beiden Summanden vernachlässigt werden. Dann ist y also um ungefähr 2z x e größer als die Quadratzahl z x z. Um unsere Rechengeschwindigkeit hoch zu halten, betrachten wir nur drei Werte für e, nämlich 0,25 und 0,5 und 0,75. Für e = 0,25 ist 2z x e einfach die Hälfte von z, für e = 0,5 ist es gleich z und für e = 0,75 ist es das Eineinhalbfache von z.

Deshalb addieren wir nun zur Quadratzahl z x z zunächst die Hälfte von z beziehungsweise z beziehungsweise das Eineinhalbfache von z und prüfen, welcher dieser drei Werte am nächsten an y liegt. Der zugehörige Wert für e wird anschließend zu z addiert und ergibt unsere Approximation. Diese ist für die meisten praktischen Alltagszwecke ausreichend.

Nicht schlecht!

Addieren wir also zu 16 jetzt ½ x 4 = 2 beziehungsweise 1 x 4 = 4 beziehungsweise 3/2 x 4 = 6, so ergeben sich die Werte 18 beziehungsweise 20 beziehungsweise 22. Der letzte Wert liegt am Nächsten an 23. Der zugehörige Nachkommateil ist e = 0,75 und führt zu unserer Approximation 4,75. Der auf drei Nachkommastellen exakte Wert ist 4,795, sodass der Approximationsfehler geringer ist als 1 Prozent. Nicht schlecht also.

Haben Sie Lust, es einmal selbst auszuprobieren: Was sind die Quadratwurzeln von 85, 56, 77?

19 Kommentare

  1.   Phosie

    schöne mathematische Kniebeuge

  2.   Henrik

    Geht das nicht sogar noch einfacher? Mein Weg ist:

    4×4=16 ; 5×5=25
    Die Wurzel aus 23 liegt also zwischen >4 und <5. Die Werteanzahl von 16 bis 25 beträgt 10. Die 23 ist 2 Werte von 25 entfernt. Wir teilen die Differenz zwischen der Wurzel aus 16 und der Wurzel aus 25 durch 10 und rechnen das Ergebnis 0,1 x 2 = 0,2. Da die 23 zwei Werte von 25 entfernt ist, rechnen wir Wurzel aus 25 – 0,2. Allein mit zwei einfachen Kopfrechenschritten erhalten wir das Ergebnis: 4,8. Das liegt noch näher beim exakten Ergebnis als Ihres.

  3.   Hannes

    Sehr geehrter Herr Hesse, schöner Artikel, aber gibt es bei dem Blogeditor kein Malzeichen (× oder ·).
    So ist der Artikel ist leider sehr schwer zu lesen.

    btw: im Spamschutz steht „Was ergibt 5 × 7 ?“

  4.   Amer

    4×4 = 16
    5×5 = 25
    25-16 = 9
    23 – 16 = 7
    7/9=~0.78
    Wurzel aus 23 =~4.78

    Ich denke dass ist eine schnellere Methode und führt zu einem (in diesem Fall) genaueren Ergebnis

  5.   Egon Dirks

    Typisch deutsche Arithmetik,…

    …für diejenige, die wissen, was 6 mal 3 ergibt und bis 20 ohne Fehler zählen können! Es gibt genaue Regel, wie man aus beliebiger Zahl einfach und schnell mit beliebiger nach Koma Genauigkeit auf Papier die Quadratwurzeln zieht und das machen die Kinder in Japan und Taiwan schon nach der Grundschule ohne solch auf Kaffeesatz rätseln…


  6. Für Wurzeln gibt’s das Heronverfahren.
    Aber man kann die Wurzel auch durch Kettenbrüche ausrechnen.
    Hier mal eine kleine Übung:
    http://www.googuntu.com/kettenbruch.png

  7.   Jakob

    nach meinem Verständnis ist im relativ „kleinzahligen“ Bereich eine weitere Vereinfachung möglich.
    Am Beispiel 85.
    1. wie oben nächst kleinere ganzzahlige quadratwurzel suchen -> 9
    2. Differenz zwischen Ausgangszahl und ganzahliger Quadradtzahl bilden -> 85-9² = 85-81 = 4
    3. Ergebnis aus 2. durch 9 und nochmal durch 2 teilen -> 4/9/2 = 2/9 = 0,222
    4. Das ist dem tatsächlichen Ergebnis sehr nahe (9,219544)


  8. Der Trick ist, kleine Differenzen linear zu machen. e² ist immer Null, formal gesehen, man darf mehrere e jedoch addieren und mit „normalen“ Zahlen multiplizieren. So bekomt man auch die Ableitungen für Funktionen.


  9. Fürs Wurzelziehen verwendet man eigentlich das Heron-Verfahren!

  10.   harald.1080

    Oder man rechnet mit Faktoren:

    von 25 ist die Wurzel 5.

    23 ist (grob) ca. 10% weniger als 25, also 90%

    Wie Wurzel von 90% lasse ich jetzt einfach 95% sein. Das ahnt man.

    95% von 5 ist 4,75.

    Praktisch ist es, ein Gefühl für seinen Schätzfehler zu bekommen und wissen, wie man einen Fehler korrekt weiterträgt.

    An die Redaktion: Schön, einen Artikel über Alltagsmathematik zu lesen.