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Ohne Diktator geht es nicht

 

In Gruppen Entscheidungen zu treffen, ist oft nicht leicht. Zudem geht es dabei selten gerecht zu. Warum? Der Satz vom Diktator macht es deutlich.

Betrachten wir eine Reisegruppe, die gemeinsam einige Attraktionen in einer Stadt besichtigen will. Es bestehen Meinungsverschiedenheiten bezüglich der Reihenfolge. Deshalb wird abgestimmt.

Jeder notiert dafür seine Lieblingsrangliste. Aus diesen soll die Gruppenrangliste so erstellt werden: Jene Sehenswürdigkeit, die bei den meisten an erster Stelle steht, wird zuerst besucht. Die Attraktion, die am häufigsten an zweiter Stelle auftritt, wird anschließend besucht, und so weiter. Falls irgendwann Gleichstand herrscht, schaut man, welche Alternative am häufigsten vor der anderen platziert ist. So entsteht mit diesem Wahlsystem nach dem Mehrheitsprinzip aus vielen individuellen Präferenzen eine Präferenz der Gruppe.

Man muss sich darüber klar sein, dass das Ergebnis keine Kompromissentscheidung ist. Das hier angewandte, verbreitete Wahlsystem ist nämlich diktatorisch. Und zwar in dem Sinne, dass immer der Wille einer einzigen Person zu 100 Prozent zum Gruppenwillen wird.

Prüfen wir es an einem Beispiel mit fünf Reisenden und vier Zielen: Hier sind die Ranglisten der fünf Reisenden bezüglich der Sehenswürdigkeiten A, B, C, D:

 

Person 1 Person 2 Person 3 Person 4 Person 5 Gruppen-Präferenz
C D C B A C
D A A C B A
A C D D D D
B B B A C B

Person 3 ist der Diktator. Er bestimmt, in welcher Reihenfolge es gemacht wird. Das ist kein Zufall, sondern allgemeingültig. Ganz egal, wie abgestimmt wird, immer gibt es eine Person, deren Präferenz zur Gruppenpräferenz wird. Und auch über das hier gewählte Wahlsystem hinaus ist das Ergebnis verallgemeinerungsfähig: Verlangt man von einem Wahlsystem einige wünschenswerte Eigenschaften, so gibt es zwingend einen Diktator.

Dabei sind die wünschenswerten Eigenschaften eigentlich ziemlich vernünftig, ja geradezu selbstverständlich, wie etwa diese:

  • Wenn alle Wähler eine Alternative gegenüber einer anderen bevorzugen, dann sollte das auch die Gruppen-Rangliste tun.
  • Die Rangordnung zweier Alternativen auf der Gruppen-Rangliste hängt nur von der Reihung dieser beiden Alternativen bei den einzelnen Personen ab und nicht davon, wie die Personen andere Alternativen bewerten (Bedingung der Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen)

Man kann also sagen: Jedes Wahlsystem (egal ob personalisiertes Verhältniswahlrecht oder Borda-Verfahren wie beim Eurovision Song Contest) ist entweder teilweise irrational oder aber es gibt einen Diktator. Das ist der mathematische Satz vom Diktator. Er wurde 1951 vom späteren Nobelpreisträger Kenneth Arrow bewiesen und war eine sozialwissenschaftliche Sensation. Was sagt er nur aus über die Möglichkeiten von Demokratie?

88 Kommentare

  1.   AnderePerspektive

    Ich frage mich gerade ob aber vorhersehbar ist, welche Personenpräferenz zur Gruppenpräferenz wird? Denn nur dann macht die Definition eines „Diktators“ sinn, weil er absehbar der Gruppe seine Entscheidung aufzwingt. So wie sich mir der Sachverhalt gerade darstellt stimmt zwar immer eine Personenpräferenz mit der Gruppenpräferenz überein, die sich aber zufällig ergibt. …Oder?

  2.   rille

    Mit der Möglichkeit mich zu blamieren (bin in Mathe eine Null) stelle ich folgende Frage:

    (1) Die Intension des Wortes Diktator ist, dass er (a)_seinen_ Willen gegen den Willen der (b) Mehrheit durchsetzt. – Er diktiert die Vorgehensweise, das Prozedere etc.

    (2) Die Defintion einer demokratischen Entscheidung ist: die Durchsetzung des Mehrheitswillens (mit gewissen Abstufungen bzgl. Minderheitenpräsenz usw.)

    (3) Meine Behauptung: Nur weil jemand (notwendigerweise, das habe ich verstanden) während so einer demokratischen Entscheidungsfindung zuerst einmal aus purem Zufall die Position einnimmt, die am Ende durchgeführt wird, wird er damit _nicht_ zum Diktator, weil per Definitionem seine Position (2) entspricht und (1) widerspricht.

    Man wird nicht durch eine Mehrheitsentscheidung zum Diktator, sondern durch Machtergreifung (meist mit Hilfe von Gewalt).

    Was übersehe ich?

  3.   Optmist

    Durch Worthuberei werden hier falsche Schlüsse beim Leser impliziert!
    Sie bezeichnen eine Person als „Diktator“, deren Präferenz in einer Abstimmung mit der Gruppenpräferenz übereinstimmt. Mit keiner Kombinatorik der Welt lässt sich aber nachweisen, dass der „Diktator“ in zwei verschiedenen Abstimmungen derselbe sein muss. Genau das zeichnet aber einen Diktator im richtigen Leben aus.


  4. Mathematisch mag man die Person, deren Präferenz zum Gruppenkonses wird, einen „Diktator“ nennen, aber die Bezeichnung ist m.E. irreführend. Was hier widerlegt wird, ist nur der Satz von Maggie Thatcher, dass „ein Kompromiss eine Entscheidung ist, die keiner gewollt hat.“

    In einer hinreichend großen Menge von Individuen gibt es immer immer jemanden, dem genau die getroffene Entscheidung am meisten nützt, genauso, wie sie meist einem anderen extrem schadet. Deswegen sind demokratische Entscheidungen quasi nie pareto-optimal. Sie deswegen diktatorisch zu nennen, ist pure Effekthascherei.

  5.   Grinzold

    Wenn Person 3 mit C,A,B,D gestimmt hätte, wäre die Gruppenpräferenz gleich geblieben. Wo ist denn dann der Diktator hin?

  6.   beat126

    Wenn sich Person 3, also der sogenannte Diktator, nicht für die Reihenfolge C, A, D, B entschieden hätte, sondern für C, A, B, D, wäre die Gruppenpräferenz und damit die Reihenfolge der Besuche die gleiche geblieben und es gäbe keinen sogenannten Diktator.

    Was das über die Demokratie sagt? – Wenn die Parlamentarier die Aufgabe haben, ein Gesetz so vorzubereiten, dass es anschliessend mit Ja oder Nein beantwortet werden kann (was nach Aussagen von namhaften deutschen Politikern gar nicht geht) und anschliessend an der Urne so bestätigt oder verworfen werden kann, bleibt Demokratie das was es sein sollte – ein Entscheid der Mehrheit.

    Selbst wenn jemand seit 20 Jahren immer mit dem Resultat übereinstimmend abgestimmt hat, könnte er sich nie als Diktator bezeichnen – er hat bloss immer die Meinung der Mehrheit vertreten.

  7.   Oyamat

    Und wer ist der Diktator, wenn folgende Präferenzen vorliegen:
    Person 1: ABCD
    Person 2: DCBA
    Personen 3, 4 und 5: BACD

    Das Wahlsystem sei exakt wie oben vorgegeben.
    Soviel zu „Verlangt man von einem Wahlsystem einige wünschenswerte Eigenschaften, so gibt es zwingend 1 Diktator.“ In diesem Fall müsste man dann jedenfalls einen der Personen 3 bis 5 willkürlich dazu bestimmten.

    Jemand, der über Mathematik schreibt, sollte eigentlich erst mal alle Fälle abklappern – und nicht nur _einen_ Sonderfall, wie den, daß es keine überschneidenden Präferenzen unter den Wesen gibt, die sich abstimmen wollen. So leicht zu widerlegen war meinem Eindruck nach aber wirklich selten etwas, das sich mit dem Titel „mathematischer Satz“ geschmückt hat. Zeigt wohl, daß mathematische Sätze heute auch von de Erosion der Wissenschaften betroffen sind…

    Mit Gruß von Oyamat

  8.   Hans Pau

    Das ist so nicht richtig. „Irrational“ im Sinne von Arrow bezeichnet lediglich Intransitivität.
    Gleiches gilt für den „Diktator“. Dieser bestimmt nämlich *nicht* das Ergebnis der Gruppe, sondern seine Individualpräferenz ist zufällig mit dem von der Gruppe anhand einer bestimmten Vorgehensweise ausgewählten Ergebnisses identisch.

    Der Dikator wäre also nur dann Diktator, wenn er das Wahlsystem bestimmen und die Präferenzen aller anderen kennen würde. Dies ist in der Realität nicht der Fall.

    Entsprechende Kritiken an Arrow gibt es seit den 50ern. Bitte besser recherchieren.

  9.   pakZ

    Kann dieser These auch in keinster Weise folgen.

  10.   Hannes

    Der Begriff des Diktators ist natürlich unglücklich. Er scheint zu beinhalten, dass eine Person den anderen Ihre Präferenzen aufdrücken kann.

    O.g. Satz beschreibt aber nur, dass dar Ergebnis dieses Wahlverfahrens immer (mind.) einer Einzelpräferenz entspricht. Ohne dass diese einen besonderen Einfluss hätte.

    Verstehe ich das richtig?

    Wenn bei uns Wahlen sind, und ich wähle Partei X, und X gewinnt, dann hat sich zwar meine Präferenz durchgesetzt, aber der Begriff „Diktator“ scheint mir unangebracht.