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Schnellrechnen-Schnellkurs (Teil 8)

 

Nachdem wir uns in den letzten beiden Schnellkursen zum Schnellrechnen (Teil 6 und Teil 7) mit dem Ziehen von Quadratwurzeln beschäftigt haben, soll es heute um das Ziehen von Kubikwurzeln gehen. Für viele Menschen war das wahrscheinlich bisher recht schwierig, doch mit vedischer Mathematik aus Indien geht es in drei Sekunden.

Unter vedischer Mathematik versteht man ein System von Kopfrechenregeln, das von Bharati Krishna Tirthaji (1884 – 1960), einem früheren Abt des Klosters Govardhana Math in Puri, eigener Aussage zufolge aus den Veden herausgearbeitet wurde. Die Veden sind die heiligen Schriften des Hinduismus. Sie werden in der Regel auf etwa 1.200 vor Christus datiert. Tirthaji behauptete, dass schon aus dem Rig Veda, der ältesten der heiligen Veden, mathematische Rechentricks abgeleitet werden können. Dann wäre die vedische Mathematik eine der ältesten Rechenkünste überhaupt.

Die vedische Mathematik beruht auf 16 einfachen Grundregeln des Rechnens, die Sutren genannt werden; ein Kamasutra der Mathematik gewissermaßen. Die Regeln sind unkonventionell, führen aber zu einer hohen Rechengeschwindigkeit für bestimmte Rechenoperationen, die weitaus größer ist als die, die man gemeinhin mit den in der Schule unterrichteten Regeln erreicht. Es sind Regeln, mit denen sich auch einige komplizierte Aufgabenstellungen schnell lösen lassen. Sie werden heutzutage an einigen Universitäten in den USA und Indien in Seminaren unterrichtet.

Dritte Potenzen, leicht gelernt

Wir verwenden jetzt die vedische Mathematik, um zu einer Zahl zwischen 1.000 und 1.000.000 ziemlich schnell die Kubikwurzel zu ziehen, wenn wir wissen, dass diese ganzzahlig aufgeht. Die dritten Potenzen der Zahlen von 1 bis 9 können leicht gelernt werden. Sie lauten: 1 hoch 3 = 1, 2 hoch 3 = 8, 3 hoch 3 = 27, 4 hoch 3 = 64, 5 hoch 3 = 125, 6 hoch 3 = 216, 7 hoch 3 = 343, 8 hoch 3 = 512, 9 hoch 3 = 729

Schaut man sich diese Liste an, erkennt man, dass die Endziffern dieser neun Potenzen allesamt verschieden sind. Wir können also schon allein an der Endziffer der Kubikzahl z hoch 3 die Basis z erkennen. Ordnet man der Zahl z die Endziffer seiner Kubikzahl zu, so ergeben sich die Zahlenpaare (1,1), (2,8), (3,7), (4,4), (5,5), (6,6), (7,3), (8,2), (9,9). Diese Liste kann man sich ganz leicht merken: Bei den beiden extremen Werten 1 und 9 ist das Paar identisch, ebenso bei den mittleren Ziffern 4, 5, 6. Bei den übrigen findet eine Ergänzung zu 10 statt.

Mit dieser kleinen Beobachtung kommen wir einen großen Schritt weiter. Angenommen, wir haben eine Zahl zwischen 1.000 und 1.000.000 vor uns, die Kubikzahl einer zweistelligen Zahl ist. Die Einerstelle finden wir durch Vergleich mit obiger Liste von Paaren. Zum Beispiel führt eine Endziffer 3 bei der Kubikzahl auf eine Einerstelle 7 bei der Basis.

Ist die Einerstelle ermittelt, streicht man von der Kubikzahl die letzten drei Ziffern weg und schaut welche der obigen Kubikzahlen z hoch 3 gerade noch kleiner ist, als die nach Streichung verbleibende Zahl. Dieses z ist dann die Zehnerziffer der zu ermittelnden Kubikzahl.

Zeit für ein Beispiel

Wir zeigen dies exemplarisch an 117.649. Die Endziffer von 117.649 ist 9 und dies führt mit obiger Liste von Paaren auf eine Einerziffer von 9 bei der Basis. Nach dem Streichen der drei Endziffern bleibt 117. Gerade noch kleiner als 117 ist die Kubikzahl 4 hoch 3 = 64, da 5 hoch 3 mit 125 bereits größer ist als 117. Die Zehnerziffer ist also eine 4 und das Ergebnis somit die Basis 49. In der Tat ist 49 x 49 = 2.401 und 2.401 x49 = 117.649.

Hier sind einige Beispiele zum selber Experimentieren: 571.787, 2.197, 166.375.

30 Kommentare

  1.   Pospiech

    Schnellrechnen-Schnellkurs (Teil 8)

    Vedische Mathematik Wurzel 3 ziehen

  2.   Pospiech

    Schnellrechnen-Schnellkurs (Teil 8) Wurzel 3 ziehen

  3.   effdee

    … und wieder einmal wurden frühere Rechenregeln „enttarnt“, die dank hochmütiger „moderner“ Erkenntnisse in Vergessenheit geraten sind und so, durch „Unbekanntheit“, als „Unqualifikation“ wegdiskutiert wurden.
    Beim Studium von de Balls ‚Sphärischer Astronomie‘ [so aus dem Jahre 1906 oder so] wurde mir deutlich, wieviel Aufwand damals getrieben werden musste, um so Lappalien wie Winkelfunktionswerte zu bestimmen, was einem heute die „Blechkameraden“ abnehmen.

    Oder man denke an Heron, der bei der Dreiecksbestimmung nahezu völlig in Vergessenheit geraten ist.


  4. Selbst mir als Mathematiker und sehr zahleninteressiertem Menschen faellt keine Situation ein, in der ich eine Kubikwurzel einer Zahl berechnen will, bei der ich schon vorher weiss, dass es ganzzahlig aufgeht. Mit viel gutem Willen waere allgemein Kubikwurzeln naherungsweise bestimmen noch interessant, aber das hier ist doch sinnlose Spielerei fuer ein paar wenige Spezialfaelle. Es gibt so viel schoene elegante Mathematik, die man auch laienverstaendlich erklaeren koennte, aber Schnellrechnen dieser Art gehoert da nicht dazu.

  5.   effdee

    Ach nee, und warum gibt es dann in den einschlägigen Unterhaltungssendungen diese, wie ich finde, unsäglichen Kopfrechendrahtseilakte, die genau auf sowas zielen?

    Ich „durfte“ einmal in einem Strafprozess als Zeuge aussagen, und als der Vorsitzende erfuhr, dass ich Mathematik studiere, kam postwendend die Feststellung bzw. Frage: „Sie können also mit Zahlen umgehen – wie lang ist wohl dieser Sitzungssaal?“.

    Man muss die Leute DA abholen, wo sie sich typischerweise aufhalten – DANN kann man ggf. draufsatteln!

    Mir gehen hier viele Fragestellungen am Allerwertesten vorbei [viel zu viel Stochastik oderso], deswegen auch vergleichsweise wenige Anmerkungen zum jeweils konkreten Thema, aber diese elitäre, ja beinahe hochnäsige Besserwisserei ist mir dann doch zu viel.
    Nächstens kommt noch einer, der „schlüssig“ nachweist, dass der Herr Hesse eine fachliche Pfeiffe ist – woll?

    Leute: dieser „Fred“ hier sollte der Entspannung dienen!

  6.   Christian D.

    Wäre als Spamschutzabfrage hier nicht das ziehen einer Kubikwurzel passender gewesen ;)

  7.   Outside_Observer

    @quarage
    Hat nicht irgendein Mathematiker gesagt, dass (ganzzahlige) Zahlentheorie die „Königin der Mathematig“ sei?

    Ich finde die Beziehung (1,1), (2,8), (3,7), (4,4), (5,5), (6,6), (7,3), (8,2), (9,9) irgendwie verblüffend und faszinierend. Für alles „praktische“ nehme ich natürlich auch den Rechner.

  8.   effdee

    Nun ja, weder 21 noch 42 hätte da geholfen. Seltsamerweise aber 35 …

  9.   suprafluid

    @quarague Ich stimme Ihnen völlig zu. Ich halte den Nutzen dieser Regel für geradezu absurd eingeschränkt, wenn ich
    1. wissen muss, dass die Zahl bereits eine Kubikzahl ist,
    2. die Operation nur anwenden kann, wenn die Zahl kleiner ist als 100^3,
    3. dabei im Optimalfall auch noch die Größen aller Kubiken der Zahlen 1 bis 9 im Kopf haben muss, um die verbleibende Stelle bestimmen zu können.

    Und falls ich mir nicht ganz sicher bin, ob die Zahl eine Kubikzahl ist (was in der Anwendung sogar sehr unwahrscheinlich ist), muss ich zwangsläufig noch eine Proberechnung durchführen. Nützlicher wäre da schon ein schnelles Verfahren, um zu sehen, ob eine Zahl Kubikzahl ist oder ein Algorithmus, um schnell im Kopf eine akzeptable Näherung für beliebige Kubikwurzeln zu erhalten.

    Nützlichkeit ist für Mathematiker natürlich nicht alles. Manche Resultate finden keine Anwendung, sind aber einfach schön. Ein hohes Maß an mathematischer Ästhetik kann ich diesem Schnellrechenverfahren allerdings auch nicht abgewinnen…

  10.   effdee

    Ob einem Rosenzüchter Nützlichkeitsüberlegungen wirklich das „Ein-und-Alles“ sind (abgesehen von Haltbarkeitsfragen oder dergleichen)?