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Mehr Fairness für die Welt

 

Vor ziemlich genau einem Jahr hatten wir uns an dieser Stelle mit einer Fairness-Formel für das Elfmeterschießen beschäftigt. Sie basierte auf einer seit knapp 100 Jahren bekannten mathematischen Zahlenreihe: der Thue-Morse-Folge. Heute zeige ich Ihnen eine andere Situation, in der sich einfaches Abwechseln als nicht optimal erweist. Um die Situation überschaubar zu halten, beschränken wir uns auf acht Objekte – bunte Bonbons verschiedener Geschmäcker –, die unter zwei Kindern aufgeteilt werden sollen, Anne und Bert.

Anne und Bert erstellen zunächst jeder für sich eine Rangliste der acht Bonbons, je nachdem, wie gern sie ein Bonbon hätten. Wir nummerieren die Bonbons in Annes Rangliste mit 12345678, wobei Bonbon 1 ihr das wichtigste ist und sie es unter allen am liebsten hätte. In dieser Belegung der Bonbons mit Zahlen sei Berts Rangliste 17263485. Annes und auch Berts Toppriorität ist also das Bonbon mit der Nummer 1.

Keiner kennt die Rangliste des anderen. Nur zur Vereinfachung unserer Darstellung haben wir die Bonbons entsprechend Annes Rangliste mit Zahlen benannt. Nehmen wir als Erstes an, Anne und Bert wechseln sich ab beim Wählen je eines Bonbons. Und ferner, dass Anne das Los gewonnen hat: Sie darf als erste ein Bonbon unter allen auswählen.

Keine Lieblingsbonbons für Bert

Da keiner die Rangliste des anderen kennt, gibt es keinen Ansatz für strategisches Auswählen und es ist für beide optimal, immer wenn sie am Zug sind, das auf ihrer Rangliste höchste noch verfügbare Objekt auszuwählen. Anne wählt also Bonbon 1. Bert wählt 7. Dann gibt es noch die Bonbons 2, 3, 4, 5, 6, 8 zu verteilen. Anne wählt 2, Bert wählt 6. Dann bleiben noch die Bonbons 3, 4, 5, 8. Anne nimmt 3, Bert nimmt 4. Es bleiben noch 5 und 8. Davon greift Anne bei 5 zu und Bert bei 8.

Anne hat also das 1., 2., 3. und 5. Bonbon auf ihrer Liste bekommen. Bert auf seiner Rangliste nur das 2., 4., 6. und 7. Bonbon. Im paarweisen Vergleich schneidet Bert also in allen Fällen schlechter ab. Ist das fair? Nein. Auch hier liegt der Grund wieder in der Reihenfolge nach der gewählt wird. Einfaches Abwechseln ist eine Form sich beständig verstärkender Benachteiligung des Zweiten gegenüber des zuerst Wählenden. Das wird ganz deutlich, wenn man zum Beispiel eine Anzahl beständig kleiner werdender Kuchenstücke betrachtet. In jeder Runde kann der, der zuerst wählt, ein größeres Stück einheimsen, als der andere. Und beim ständigen Abwechseln ist das unfairerweise immer ein und dieselbe Person. Aber das muss ja nicht sein.
Greifen wir wieder auf die Thue-Morse-Folge zurück: A, B, B, A, B, A, A, B.

Zuerst wählt Anne, wegen ihres Losglücks, dann wählt Bert zweimal, Anne einmal, Bert einmal, Anne zweimal und abschließend nimmt Bert das letzte Bonbon. Dann bekommt Anne das 1., 3., 4. und 5. Bonbon. Bert bekommt auf seiner Rangliste das 2., 3., 4. und 7. Bonbon. Das ist wesentlich fairer. Also: Es muss endlich Schluss sein mit schlichtem Hin und Her. Es lebe das ausgewogene Abwechseln nach Thue-Morse.

26 Kommentare

  1.   Outside_Observer

    Fragen über Fragen:
    1. Ist die Thue-Morse Folge, die Beste, die das gerechteste Ergebnis erzielt?
    2. Gilt das immer, egal wie die Bonbons auf den Listen verteilt sind?
    3. Wie wäre es mit Randomisierung (i.e. nach jeder Runde wird neu ausgelost, wer als Erster auswählen darf).
    4. Was, wenn die Zahl der Bonbons ungerade ist?
    5. Wie sieht es aus, wenn als Optimum nicht die gerechteste Lösung, sondern die, welche „Zufriedenheit insgesamt“ maximiert genommen wird?

  2.   1iglupedi

    „Annes Rangliste mit 12345678“

    „Berts Rangliste 17263485“

    Ok. Das sind „Menge“ A bziehungsweise (was ist das wieder für ein Wort, hä?) „Menge“ B, mit jeweils denselben! „Elementen“, die die beiden Kinder aber jeweils anders angeordnet haben. Das finde ich schon mal sehr interessant. Denn sie sehen dasselbe, machen damit, jede/r für sich im Kopf, aber nicht das Gleiche.

    So weit, so gut. Dann, was ist Fairness? Jeder von beiden bekommt 4 Bonbons. Das allein ist von der Anzahl her schon mal sowas wie gerecht. Kinder zählen gern, und die Gemeinsamkeit der Zahl im Ergebnis kann die beiden sich einig sein lassen.

    „Anne hat also das 1., 2., 3. und 5. Bonbon bekommen.“
    „Bert auf seiner Rangliste nur das 2., 4., 6. und 7. Bonbon.“
    Ok, dann schau ich mir mal die Rangliste an:

    A: [1;1] [2;2] [3;3] [4;5]

    B: [7;2] [6;4] [4;6] [2;3]

    Wieso „nur“? Außerdem hat nach Ihrer „Textaufgabe“, Herr Autor, der Bert die Ränge 2, 4, 6 und 3 auf seiner Rangliste belegt und nicht umgekehrt. Herrliche Implikation *lach*

    Sehr interessantes Bild :-). „Wir nummerieren die Bonbons in Annes Rangliste mit 12345678, wobei Bonbon 1 ihr das wichtigste ist und sie es unter allen am liebsten hätte. In dieser Belegung der Bonbons mit Zahlen sei Berts Rangliste 17263485.“

    Ich hätte die Bonbons so nummeriert, dass nur ich die Folge „12345678“ in Zuordnung zu den jeweiligen Bonbons kenne und die beiden Kinder dann ihre Liste wählen lassen. Es wäre ein ganz anderes Ergebnis entstanden, was die Anordnung der Zahlen in den Ranglisten der Kinder anbetrifft. So hat Anne – natürlich *grins* den Mädchenbonus.

    Mathematiker wissen das und können so im voraus berechnen, wie…. ;-P

    Fairy Tales :-)))))))

  3.   okroud

    Zu Kommentar 2: Mit welchen Nummern die Bononbs benannt werden hat absolut nichts mit dem Ergebnis zu tun. Die Kinder werden immer ihre Lieblingsbonbons zuerst ziehen und das Ergebnis immer gleich ausfallen.


  4. Ohne da jetzt länger darüber nachzudenken, kommt mir der ganze Aufteilungsalgorithmus höchst fragwürdig und schlecht geeignet vor.

    Viel sinnvoller wäre doch, dass beide ihr Interesse an den jeweiligen Bonbons so angeben, indem sie jedem Bonbon einen bestimmten Zahlenwert zuweisen, der ihr Interesse an dem jeweiligen Bonbon repräsentiert. Diese Zahlenwerte werden durch Skalierung dann so vereinheitlicht, dass die Summe der einzelnen Werte bei beiden Personen jeweils 100% ergeben – man also nicht einfach nur eine Reihenfolge hat, sondern man sich das Interesse einer Person an den acht verschiendenen Bonbons quasi als „Tortengrafik“ vorstellen kann.

    Dann kann man die Verteilung nach bestimmten Zielen optimieren – z.B. so aufteilen, dass die grösste „Gesamtzufriedenheit“ entsteht. Oder wahlweise auf „Gerechtigkeit“, so dass die Zufriedenheit beider Teilnehmer sich möglichst wenig unterscheidet.

    Das erscheint mir viel aussagekräftiger als eine einfache Reihenfolge/Ordnung, die ja eh nur dann Sinn macht, wenn es keine doppelt vorhandenen Bonbons gibt, die man als gleichwertig betrachtet.

    Ein ähnliches Problem ist doch z.B. die Aufteilung von Eigentum, wenn sich zwei Partner scheiden lassen. Da würde doch auch keiner freiwillig so ein merkwürdiges Verfahren wie das im Artikel skizzierte wählen?

  5.   1iglupedi

    Doch, okroud, hat es, m. E.

    Wenn das Mädchen wählt, und die Liste des Mädchens mit 12345678 benannt wird, kommt ein anderes Ergebnis in Bezug auf die Anordnung der Zahlen/Bonbons raus als wenn ich die Bonbons so nummeriere und dann beide Kinder befrage, welche Bonbons sie am liebsten hätten.

    Ich hätte ja auch den Jungen zuerst wählen lassen können…A und B sind weder männlich noch weiblich. Aber was der Text aussagt, den Herr Hesse schrieb…ich schmunzle immer noch.

  6.   1iglupedi

    „Da würde doch auch keiner freiwillig so ein merkwürdiges Verfahren wie das im Artikel skizzierte wählen?“

    Nö. Wenn die Menschen nämlich DAS täten, gebe es in Ehescheidungen weniger Streit…das Verfahren ist ja nicht schlecht…Thue-Morse sehe ich als Wellenlänge unbekannter Art… :-)…ich habe es heute erst kennengelernt.

    Ich würde sowieso nicht um Sachen kämpfen. Soll er doch alles behalten…nur meine Datenträger und meinen Rechner nicht. Alles andere ist substitutionsfähig, und nichts ist vergänglicher als Besitz…damit ist der Drops gelutscht ;-)

  7.   okroud

    Die Bonbons die ein Kind zieht sind auf jeden Fall unabhängig von der Benennung.

    Wenn man davon ausgeht dass die Lieblingsbonbons der Kinder feststehen und man ändert die Benennung der Bonbons ziehen die Kinder zwar andere „Zahlen“, aber immer noch die gleichen Bonbons. Die Prioritätsreihenfolge von Anne wäre dann natürlich nicht mehr 1234567, sondern würde sich so verändern dass sie immer noch ihre Lieblingsbonbons zuerst zieht.

    Der Hintergrund ist, dass man nicht die Nummerierung der Bonbons ändern kann ohne dass sich die Rangliste der Kinder ändert, da diese Bonbons und nicht zahlen ziehen.

    Aber natürlich ist das Beispiel so gewählt das eine Ungerechtigkeit entsteht. Im günstigsten Fall bekommt jedes Kind seine vier Lieblingsbonbons ;)

  8.   istklar

    Am Ende zählt, dass beide Kids jeweils 4 Bonbons haben. Fertig.

    Klar, man kann es auch mathematisch komplizieren, indem man von unrealistischen 8 unterschiedlichen Bonbons ausgeht. Gibt bestimmt ganz tolle Fälle, wo das Sinn macht – in diesem wirkt es jedoch schlicht schlecht konstruiert. Eine Sache, die Mathematik schon in der Schule oft absurd wirken lässt, weil nun mal niemanden interessiert, ob Hansi am Ende 2 und 4/5 Kuchenstücke bekommt…

  9.   1iglupedi

    Das meine ich ja. Selbstverständlich werden die Kinder ihre Lieblingsbonbons ziehen. Deswegen würde ich ja auch nicht die Bonbonprioritätsreihenfolge mit natürlichen Zahlen bezeichnen, sondern die Bonbons, ohne Prioritäten zu setzen, für mich allein so benennen,sozusagen das Reglement „Das sei geltend für alle“ festlegen. Dann erst das eine und dann das andere Kind fragen, die Kinder kennen das „Gesetz“ ja beide nicht. Ich kann nicht wissen, welche Bonbons die Kinder am liebsten mögen, und wenn die Kinder die Bonbons ebenfalls nicht kennen, wissen sie es auch nicht. so kommen „zufällig“ die „richtigen“ Ergebnisse zustande. Das Muster, das Bild, die Struktur, die entsteht, ist für mich das Interessante. So werden ja auch beispielsweise Soziogramme erstellt, wenn man Kinder innerhalb einer Gruppe fragt, wen würdest du am liebsten zum Geburtstag feiern einladen und wen gar nicht? Einfacher wäre nur die erste Frage. Aus den Resultaten, in ein Gitterraster eingetragen, lässt sich eine Matrix erstellen, aus der sich die Relationen innerhalb der Gruppe ableiten/herleiten lassen. Und macht man das mehrmals in sich zyklisch wiederholenden Intervallen und legt die Ergebnisse „übereinander“, kann man staunen, was für Gesetze dahinter stehen, welche Struktur sich „aus dem Chaos heraus“ bildet, wie man sie im „realen Leben“ nicht einmal bemerkt…das fasziniert mich an Mathematik :-) …das Besonders Tolle daran, ist, so sehe ich es, dass ich es wer weiss wohin übertragen kann, und es ist hier so und da auch so und dort auch so… :-)


  10. @#8
    > Gibt bestimmt ganz tolle Fälle, wo das Sinn macht – in diesem wirkt es jedoch schlicht schlecht konstruiert.

    Ist doch täglich im Sportunterricht zu beobachten. Zwei Mannschaften sollen gebildet werden. Die beiden Captains wählen abwechselnd. Und es passiert genau das, was hier mit Bonbons beschrieben wird. Captain 2 bekommt immer die schlechteren ab. Und Kinder sind nicht dumm (bzw. werden einfach so erzogen) , die wählen nicht absichtlich einen schwachen, nur damit es ausgeglichen bleibt, nein, die wollen gewinnen. Also bleibt Team B in jeder Runde nur die zweite Wahl beim zur Verfügung stehenden Material. Und am Ende muss man den nehmen den man gar nicht brauchen kann. Den man lieber auf der Bank lassen würde, weil er dort weniger Schaden anrichten kann als wenn er auf dem Platz steht.