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Fußballer sind schwarmintelligent

 

Ein Elfmeter ist für Fußballfans vor allem der reinste Nervenkitzel, mathematisch betrachtet ist es ein Zwei-Personen-Nullsummenspiel, also ein Spiel, bei dem die Summe der Gewinne und Verluste beider Spieler zusammengenommen gleich null ist. Ein Erfolg für den Schützen bedeutet zwangsläufig eine Niederlage für den Torwart und umgekehrt. Mathematisch gesprochen: +1-1 = 0.

Wer als Sieger hervorgeht, hängt entscheidend davon ab, auf welche Seite des Tors der Schütze zielt, und davon, ob der Torwart die Seite gerochen hat. Würde ein Spieler erfahrungsgemäß immer nur in die gleiche Hälfte des Tors schießen, so hätte der Torwart sehr gute Chancen, den Ball zu bekommen. Was also ist für Schütze und Torwart die optimale Taktik?

Mit solchen Fragen befasst sich das mathematische Feld der Spieltheorie, mit der sich der Mathematiker John Nash, bekannt aus dem Film A Beautiful Mind, intensiv beschäftigt hat. Vergangene Woche starb Nash bei einem Autounfall, vier Tage nachdem er mit dem Abelpreis eine der wichtigsten Auszeichnungen der Mathematik erhalten hatte.

Seine berühmteste wissenschaftliche Arbeit beschäftigt sich mit dem heute so bezeichneten Nash-Gleichgewicht, dessen Existenz John Nash 1950 in seiner Doktorarbeit bewies. Und mit eben diesem Nash-Gleichgewicht lässt sich auch die optimale Taktik beim Elfmeter beschreiben:

Der Schütze schießt entweder nach rechts, links oder in die Mitte. Der Torhüter springt entweder nach rechts, links oder bleibt in der Mitte. Bei beiden kommt die Mitte im realen Fußball selten vor. Deshalb vereinfachen wir das Modell wie folgt: Ein Schütze schießt entweder mit rechts oder links. Schießt er mit rechts, ist es für ihn leichter auf die vom Torwart aus gesehen rechte Seite oder in die Mitte zu schießen als auf die linke Seite. Wir fassen rechte Seite plus Mitte zur „leichten“ Seite (L) des Schützen zusammen. Die verbleibende linke Seite ist für den Schützen die schwere Seite (S).

Bei Schützen, die vorzugsweise mit dem linken Fuß schießen, drehen sich leichte und schwere Seite entsprechend um. Die Wahrscheinlichkeit w, dass der Schütze ein Tor macht, hängt nun erstens davon an, ob er auf die für ihn leichte oder schwere Seite schießt und noch mehr davon, ob der Torhüter sich in die vom Schützen gewählte Richtung wirft.

In einer detaillierten Studie, die insgesamt 1.417 in verschiedenen europäischen Ligen geschossene Elfmeter beinhaltet, ergaben sich diese Erfolgswahrscheinlichkeiten der Schützen in Prozent: w(S, S) = 58,3 und w(L, L) = 69,9 und w(L,S) = 92,9 und w(S,L) = 95,0. Das liest sich so: Die Torwahrscheinlichkeit ist mit 58,3 Prozent dann am niedrigsten, wenn der Schütze in seine schwere Ecke schießt und der Torhüter in dieselbe Ecke (S) springt.

Was sind nun also die optimalen Strategien? Wohin soll der Schütze schießen? Wohin soll der Keeper springen?

Wir sagen, der Schütze wählt Strategie p, wenn er mit Wahrscheinlichkeit p auf seine leichte Seite schießt und mit Wahrscheinlichkeit 1 – p auf seine schwere Seite. Entsprechend sagen wir, dass der Keeper Strategie q wählt, wenn er mit Wahrscheinlichkeit q in die leichte Ecke springt und mit Wahrscheinlichkeit 1 – q in die schwere Ecke.

Der Schütze versucht natürlich die erwartete Torwahrscheinlichkeit zu maximieren, während der Torhüter gleichzeitig versucht, diese zu minimieren. John Nash hat nun bewiesen, dass bei diesen und vielen anderen Spielen ein Nash-Gleichgewicht existiert, also ein Strategiepaar p und q für Schütze und Torhüter, bei dem es keinem der Beteiligten einen Vorteil bringt, von seiner Strategie abzuweichen, solange der andere an seiner Strategie festhält.

Das Nash-Gleichgewicht beschreibt also das Optimale, was für beide erreichbar ist. Für die genannten Torwahrscheinlichkeiten gibt es ein Nash-Gleichgewicht bei den Strategien p = 61,5 Prozent und q = 58,0 Prozent. Das heißt, im Schnitt sollte der Schütze in 61,5 Prozent der Fälle auf die leichte Seite schießen und der Keeper sich in 58,0 Prozent der Fälle in die leichte Ecke werfen.

Geradewegs faszinierend ist es nun, dass sich bei der Auszählung der 1.417 Elfmeter in der angesprochenen Studie ergab, dass die tatsächlichen Prozentanteile bei p = 60,0 und bei q = 57,7 lagen. Elfmeterschützen und Torhüter als Gruppe betrachtet treffen also ihre jeweiligen theoretischen Optimalstrategien sehr genau. Was uns beweist: Fußballer sind schwarmintelligent.

39 Kommentare

  1.   1iglupedi

    Natürlich sind Fußballer schwarmintelligent, wie alle Menschen. Aber schwarmintelligent sind Würstchen auch *laut lach*…

    Nur: Links, Rechts, Mitte? ist mir zu wenig.

    Links oben, rechts unten mittig hoch, mittig runter, rechts oben, links unten. Dann ist auch noch das einzig „Immobile“ : Das Tor. Also, Ball auf Elfmeterpunkt, Zielrechteck anpeilen. Woher weht der Wind? Wie schwer der Ball ist, ist ja „normiert“. Jedenfalls in der obersten Liga ;-)…Wie viel wiegt der Spieler und wie ist der Boden beschaffen?…was ist, wenn sich die Richtung ändert? Hey, das sind mehr! als 2 „Spieler“.

    Dann sind Blickwinkel UND Standpunkt des Schützen UND des Torhüters auch noch da. Kann man skizzieren :-) Aber durch die Kraft des Schützen wird der Ball „beschleunigt“…Welchen Weg beschreibt er?

    Hey, Herr Hesse, das artet ja in Arbeit aus :-)))))…was für eine Leistung…schade, dass Herrn Nash und seine Frau auf der Strecke blieben. Jedenfalls hat er loslassen können, denn er bekam, was er verdient hat? Geld macht nicht glücklich…und weniger als Geld kann man nicht haben, nach dem physischen Tod ist mathematisch erwiesene Ehre nicht mehr wahrnehmbar für das komplexe System, das es erdachte. Andere werden es weiterentwickeln, die Struktur ewig gespeichert bleiben. Vielleicht in Pi…wer weiss das schon.

    Das letzte Hemd hat keine Taschen. Und da, wo er jetzt ist, braucht Herr Nash diesen Preis nicht mehr. Das ist leider bei vielen Künstlern so.

    Was glauben Menschen eigentlich, wer oder was sie sind…Herr Varoufakis beispielsweise auch Spieltheoretiker, wenn ich richtig informiert bin…und in den entlegensten Winkeln der Welt lernen die ärmsten Intelligenzen im Schein flackernder Öllampen oder bei Paraffinkerzenschein…jeder macht was er will, keiner was er soll, aber alle machen mit, damit das Spiel auch weitergeht?

    Wow. Gut, dass ich von sowas nix versteh und frei bin, mich zu entscheiden, daran nicht teilnehmen zu wollen, soweit es mir die Rand- und Rahmenbedingungen erlauben.

  2.   effdee

    Toll!

    Torr (für Anti-Chinesen)!

    Was will ich mir damit sagen?
    Ein Tor, das Böses dabei denkt.
    ?
    Weder ist der Torwart ein Tor noch selbiges unbedacht!
    Nicht das Tor ist schizopren sondern dem Torwart seine Situation – poor soul.

    ‚Wichtig ist, dass hierbei nichts herauskommt“.
    Das klingt vertraut (schließlich sind wir hier in Deutschland).
    Aber nein!
    DAS ist hier falsch: ‚Wichtig ist, dass hier nichts hineinkommt!‘.

    Würden Torwart und Tor eine Rochade machen dürfen, wäre DAS ein für alle Mal gesichert.
    (Das aus der Theorie der unverzeihlichen Spielvariationen: der Ansatz von der besten ungleichgewichtigen Chancenverhinderung.)

  3.   1iglupedi

    effdee,

    sehr interessanter Ansatz, auch der Rechenweg lässt sich – in alle Richtungen – logisch nachvollziehen.

    = No Chance : wegTor ;-PPP

  4.   Alexander II

    Vor langer Zeit, etwa als Jürgen Klinsmann bei Inter Mailand gespielt hat, war ich bei einem Spiel. Diese Atmosphäre, dieses Abwägen der leichten und der schweren Ecke, das war damals schon da und gab den Spielen einen echten Reiz.

    Jedenfalls war ich mal in Mailand, habe eine Schwarmintelligenz beobachtet und habe versucht, als das dann gut war damit, mit öffentlichen Verkehrsmitteln nach Deutschland, NRW, zu kommen. Vielleicht täusche ich mich auch im Jahr, es war jedenfalls der 11.9. und auf dem Flughafen war der Teufel los. Sicherheitschecks für alle, Schlangen bis zum Fussballstadion. Die deutsche Airline hat wegen „schlechten Wetters“ verkündet, heute Schwierigkeiten zu haben. Flug nur bis München, verpasster Zug, dann weiter, erneut verpasster Zug, bis zur Endhaltestelle des Regionalverkehrs, dann mit dem Bus weiter. Schade, ich kann hier kein Foto posten. Eigentlich hatte ich gedacht, es fährt stündlich ein Zug von der Endhaltestelle des Regionalverkahrs, aber da stand ich nun. Nachfragen haben ergeben, dass der Bus heute nicht kommt, aber ein anderer. Mit dem bin ich dann (nur ich und die hübsche Fahrerin) 20km gefahren bis zur Endhaltestelle. Und da habe ich auf den nächsten Bus gewartet. Gewartet, gewartet, alle Vorbeifahrenden haben mich angeschaut, als hätte ich Idiot kein Auto, und dann kam der Bus, und ich bin allein mit dem jungen Busfahrer die nächsten 10 km gefahren. Ja, und dann habe ich meinen blöden Koffer gezogen über die Landstraße und habe beschlossen, nie wieder nach Mailand zum Fussball zu wollen.

  5.   1iglupedi

    Jaja, Alexander, bleibe im Lande und nähere dich redlich ;-)

    Wir ham ja Samstag n Date, näch, Zeitpunkt?

    11/9? Achtung, tiefschwarz: Bush und Bin Laden spielen Schach. Wer gewinnt? Bin Laden natürlich, Bush hat keine Türme mehr.

    Es ist wirklich wie mit Goshware aus dem Film „Wargames“: In einem Spiel, das die jeweiligen Züge in die „Realität“ transferierte, in Interaktion mit einem Kind lernte ein Programm, dass es der einzig gewinnbringende Zug ist, nicht zu spielen. Und das Spiel *tic tac toe*, das das Programm zu dieser Erkenntnis führte, lernte es vom Menschenkind.

    Der Programmierer vermisste seinen toten Sohn, nach dem er das Programm benannte…

    Eine Wahrheit, wie sie tiefer nicht gefühlt werden könnte. Ein Lernprozess, der vom Ergebnis her nicht positiver sein könnte als er ist. Was weiß ich denn schon?

    Nichts. Ich kann mich nur zu gut erinnern…

  6.   1iglupedi

    9, Sonntag is das Date. *lach* minuseins *ggg*

    Fußball mag ich nicht.

  7.   Alexander II

    Bin ich nicht ausgeladen worden, weil befürchtet wurde, ich würde zu tief reingucken? Hab zwei Tage geweint und Motivationstraining gemacht. Bloß gut, dass ich nicht angehende Sozialarbeiterin mit starkem Gerechtigkeitsgefühl bin, das würde mich total zerreißen…

  8.   1iglupedi

    Sowas bin ich auch nicht…ich habe dich bloß gewarnt…wer mich studiert, wird verrückt ;-))))…

    Es ging um meine Bücher, nicht um mich. Wenn ich da zu tief reinguck, brauch ich keinen Alkohol, dafür hab ich aber auch keine Rotweinflecken aufm Teppich.

    Hoffentlich hat das Motivationstraining gewirkt.

    Was bist du dann, dass es dich nicht zerreißt?

  9.   1iglupedi

    aha…verstehe :-) ☺

  10.   Alexander II

    Neulich wollte ich nach Dortmund zum Fußball, mit dem öffentlichen Nahverkehr. Ihr wisst ja schon, ich wohne in NRW, hinter den 7 Bergen. Ja, und bei jedem Berg ist eine Bushaltestelle… Ein einfaches Optimierungsproblem. Ich brauchte nur noch die Infos, wo genau die Bushaltestellen sind und wann die Busse fahren. Also hab ich die Website des berühmten Unternehmens aufgesucht und meinen Wohnort eingegeben. Ja, dann kam eine freundliche Fehlermeldung, sie hätten sich über meine Anfrage gefreut, jetzt gibts ein Problem…ich solle später noch mal vorbeikommen. Ich habe gedacht, die schaffen eine Buslinie vor meiner Haustür! Die Fehlermeldung stand vor Schwarz… konnte den Rechner nicht mehr hochfahren…Betriebssystem neu installieren. Es ist niemand gekommen, dann habs ichs nochmal versucht…und als ich zum dritten Mal das Betriebssystem instattliert habe, haben die nach einer Identifizierung gefragt und ich war ziemlich sauer. So habe ich beschlossen, nicht nach Dormund zum Fußball zu fahren.

    Jetzt spiele ich allein Fußball, hinter den 7 Bergen. Ist gar nicht schlecht. Nur beim 11 Meter, in dem Augenblick, wo ich gegen das Leder trete, müßte ich ja schon im Tor stehen und den Tritt von vorne hören. Da habe ich ausgerechnet, dass ich mit Schallgeschwindigkeit ins Tor rennen müßte:

    V_Alexender=V_Schall=330m/s

    Hmm, das hab ich noch nicht geschafft. Ich glaube, ich brauche einen Trainer, eine Sozialarbeiterin oder wenigstens Lisbeth Salander, einen Physiker, einen Mathematiker und und und…