‹ Alle Einträge

Kein Nachbesserungsbedarf beim Satz des Pythagoras!

 

Mathematik ist für die Ewigkeit. In anderen Disziplinen wirft die nächste Forschergeneration so manches von dem, was die vorhergehende an Ergebnissen zusammengetragen hat, teilweise wieder über den Haufen. Nicht so in der Mathematik. Was einmal richtig gemacht wurde, hat für immer Bestand. Am Satz des Pythagoras gibt es auch nach 2.000 Jahren keinen Nachbesserungsbedarf. Er ist ein für alle Mal richtig bewiesen und hat kein Verfallsdatum.

Entsprechend absolut sind die Ansprüche an Beweise in der Mathematik. Vor Gericht gilt eine Tatsache schon als bewiesen, wenn sie „Jenseits jedes vernünftigen Zweifels“ als wahr gelten kann. In der Mathematik reicht das noch nicht aus. Das folgende Beispiel zeigt, warum Mathematiker so streng sein müssen, und nicht etwa einfach nur eine (wenn auch eventuell sehr große) Zahl von Einzelfällen prüfen dürfen, um auf deren Basis zu verallgemeinern.

Betrachten wir einen Kreis mit n beliebigen Punkten auf dem Umfang. Jeder Punkt wird mit allen anderen Punkten durch Strecken verbunden. Keine drei Strecken sollen durch einen Punkt gehen. Die Kreisfläche wird auf diese Weise in Teilgebiete zerlegt. Nennen wir Tn die Anzahl dieser Teilgebiete. Wie groß ist Tn?

Um diese Frage zu beantworten, schauen wir uns die ersten fünf Fälle als Spezialfälle an. Also n = 1 bis n = 5. In allen Fällen ist Tn eine Zweierpotenz, nämlich 2 hoch (n – 1). Auf deren Grundlage könnte man zu einer Hypothese über die generelle Gestalt der Zahlen Tn als Zweierpotenzen kommen. Das scheint bei erstem Nachdenken auch plausibel. Die Vermutung ist aber falsch. Die Zahlen Tn sind allgemein betrachtet keine Zweierpotenzen, sondern eine Funktion in der Terme bis n hoch 4 auftreten. Für n = 6 ergeben sich zum Beispiel nicht 32 Teilgebiete sondern nur 31.

 

zon-mathe-kreissegmente

Abbildungen: Vlad Sasu

Zusatzfrage: Wie viele Teilgebiete gibt es beim 13-Eck?

ZON-MATHE-13Eck

 

Zusatzaufgabe: Wie kann man die Formel für die Anzahl der Teilgebiete beweisen?

Noch krasser ist es im folgenden Fall:

Aussage: Die Gleichung 313(x hoch 3 + y hoch 3) = z hoch 3 hat keine Lösung, ganz gleich welche natürlichen Zahlen 1, 2, 3, … ich jeweils für x, y, z einsetze. Diese Aussage ist falsch. Doch ich empfehle Ihnen nicht, ein Gegenbeispiel zu finden. Schon beim kleinsten Gegenbeispiel sind fantastischerweise x, y, z jeweils größer als die Zahl 10 hoch 1000. Dieses Gegenbeispiel hätte niemals durch eine Computersuche entdeckt werden können.

85 Kommentare

  1.   MattZatt

    also wenn ich die teilflächen beim sechseck abzähle komme ich auf 27 und nicht die 31 die die formel eingibt? wie begründen Sie die differenz?

  2.   Outside_Observer

    Dieses Gegenbeispiel hätte niemals OHNE eine Computersuche entdeckt werden können.

    Oder?

  3.   Outside_Observer

    Anzumerken wäre auch, dass die mathematischen „Wahrheiten“ nur deshalb wahr sind, weil man die Wahrheit gleich am Anfang mit den Axiomen hineinsteckt. Wenn man die Axiome ändert (z.B. nicht-euklidische Geometrie), dann stimmt auch der Pythagoras‘ Satz nicht mehr.

  4.   Fligga

    Naja, der Satz des Pythagoras gilt immer, wenn seine Voraussetzungen erfüllt sind. Der Ausdruck „Axiom“ ist hier etwas irreführend, weil er in diesem Sinne keine grundlegenden Annahmen sondern eher eine Klasse von Eigenschaften/Vorausetzungen beschreibt.

    Etwas anders ist es mit den grundlegenen Axiomen an die Mathematik (Stichwort Zermelo-Fraenkel), ohne die stimmt der Satz dann wirklich nicht. In der nicht-euklidischen Geometrie, hat man aber einfach nur andere Vorausetzungen, kein anderes System von Axiomen.

  5.   dth

    @1
    10^1000 ist viel zu groß, um alle Möglichkeiten bis dahin durchzuprobieren. Deswegen ist eine (naive) Computersuche nicht möglich. Man kann aber vermutlich nachweisen, dass es die Lösung gibt, ohne sie anzugeben, oder man kann die entsprechende Zahl sehr kompakt angeben. Verifizieren könnte man die Lösung mit einem Computer wohl.

    @2
    Wenn man den Gegenstand ändert, auf den sich eine Aussage bezieht, stimmt sie natürlich unter Umständen nicht mehr. Axiome definieren einfach eine Struktur, und diese kann man dann untersuchen.
    Axiome sind nicht irgendwelche „Grundwahrheiten“ bei denen man sich irren kann. Irren kann man sich erst, wenn man mathematische Erkenntnisse auf die Realität überträgt, und z.B. annimmt, dass gewisse physikalische Größen bestimmten Axiomen genügen. Das ist aber dann keine Fragestellung der Mathematik mehr, sondern der Physik.
    Man kann natürlich sagen, dass die Mathematik deswegen nie irrt, weil sie sich mit der Realität gar nicht beschäftigt.

  6.   der Daniel

    @Outside_Observer

    > Dieses Gegenbeispiel hätte niemals OHNE eine Computersuche entdeckt werden können.

    > Oder?

    Ich verstehe den Satz so, dass man die Gegenbeispiele durch mathematische Überlegungen herausbekommen hat, nicht durch Computer, weil 10 hoch 1000 Rechenschritte selbst für Computer viel zu viele sind.


  7. „Mathematik ist für die Ewigkeit. “

    Seit Gödel wissen wir, dass die Mathematik nicht mal ein wahres, vollständiges und konsistentes System für natürliche Zahlen (1, 2, 3 usw) zustande bringen kann. Das was die Mathematik für die Ewigkeit sagen kann steht auf tönernen Füße, das was nicht auf tönernen Füßen steht ist trivial.


  8. Dazu der Spott unseres alten Mathelehers, wie ein Physiker prüft, ob alle ungeraden Zahlen Primzahlen sind:

    1 – Primzahl
    3 – Primzahl
    5 – Primzahl
    7 – Primzahl
    9 – Meßfehler
    11 – Primzahl
    13 – Primzahl

    Sieben Messungen müssen nun wirklich reichen…

  9.   Coiote

    „Entsprechend absolut sind die Ansprüche an Beweise in der Mathematik.“

    irgendwie vermittelt der Autor dem interessierten Laien aber doch ein falsches Bild von der Mathematik, wie sie als Forschungsdisziplin behandelt wird. In der Mathematik sind Beweise in der Regel einen ordentlichen Happen kompexer, als der übliche Beweis des Satzes von Pythagoras. Und je koplexer der Beweis, desto wahrscheinlicher menschliches Versagen beim Beweisenden, und beim prüfenden Reviewer.

    Ich lese aus beruflichen Gründen recht häufig Veröffentlichungen auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Und Fehler finde ich regelmäßig. Dabei bin ich auch nicht besonders genial, eher ein Durchschnittsmathematiker. Vermutlich finde ich nur jeden 5 Fehler (reine Bauchgefühlschätzung). Wenn ich ein Manuskript begutachte, dann gebe ich mir natürlich bei Prüfen wesentlich mehr Mühe, aber auch da finde ich sicherlich nicht jeden Fehler. Da Paper meistens aufeinenader aufbauen, bauen Publikationen auf oftmals fehlerhaften, nicht nochmals geprüften Resultaten auf. Ein inflationärer Fehlerfortsetzungseffekt also.

    Wir sollten die Mathematik nicht zu sehr mystifizieren oder unangebracht überhöhen. In der Realität wird die Mathematik den absoluten Ansprüchen auch nicht gerecht. Auch wir Mathematiker kochen nur mit Wasser.


  10. Pythagoras lässt sich nicht widerlegen, aber verallgemeinern.
    So passiert’s doch mit der Mathematik ständig.
    Die Natürlichen Zahlen, werden verallgemeinert zu den rationalen, diese zu den reellen und schließlich weiter verallgemeinert zu den Complexen.
    Und höchstwahrscheinlich ist bei den Complexen Zahlen auch noch nicht Schluss.
    Allein das euklidische Axiom, dass man durch zwei Punkte eine Gerade ziehen kann, geht in meinen Augen viel zu weit, und ist eher ein mathematischer Satz als eine Prämisse.
    Ein Axiom wäre, jeder Punkt hat „mindestens“ einen Nachbarpunkt.
    Das mit der Gerade folgt dann später.

 

Bitte melden Sie sich an, um zu kommentieren.

Anmelden Registrieren