Kürzlich rief ich bei einer Behörde an und die Dame am Telefon brauchte zur Identifizierung mein Geburtsdatum. Es stellte sich heraus, dass wir beide am selben Tag Geburtstag haben. „Was für ein seltener Zufall“, sagte die freundliche Sachbearbeiterin.
Aber stimmt das? Ist das wirklich ein seltener Zufall? Keineswegs.
Schon in einer Gruppe von 23 willkürlich ausgewählten Personen besteht nach mathematischer Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Chance von 50 Prozent, dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag feiern; gleicher Monat, gleicher Tag.
Den meisten Menschen erscheint das ausgesprochen paradox. Immerhin gibt es 365 mögliche Geburtstage, mit dem 29. Februar sogar 366. Der Mathematiker Richard von Mises bezeichnete dies als Geburtstagsparadoxon.
Schauen wir uns kurz an, warum eine so kleine Gruppe ausreicht. Unser Gefühl verwechselt das Problem offenbar mit folgender Frage: „Wie groß muss die Gruppe sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine der Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat, zum Beispiel an meinem Geburtstag?“
Darauf ist die richtige Antwort in der Tat viel größer, nämlich 253 Personen. Das ergibt 253 paarweise Vergleiche mit meinem Geburtstag. Besteht eine Gruppe nur aus 23 Personen, dann gibt es aber ebenfalls 23 x 22/2 = 253 paarweise Vergleiche der Geburtstage von je zwei Gruppenmitgliedern. Eine Gruppe von 23 Personen reicht also aus.
Anders ausgedrückt: Im Schnitt haben bei der Hälfte aller Fußballspiele zwei Akteure in der Startaufstellung am selben Tag Geburtstag (zwei mal elf Spieler plus Schiedsrichter).