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Ein Mathe-Trick für faule Zauberer

 

Mathematik ist zauberhaft. Und zwar auf ganz vielfältige Weise. Nicht zuletzt kann man mit Mathematik selbst zum Zauberer werden, denn viele Zauber- und Kartentricks basieren letztlich auf mathematischen Prinzipien. Der amerikanische Mathematiker Charles Sanders Peirce (1839-1914) hat sich seinerzeit den wohl kompliziertesten Kartentrick ausgedacht, der je entwickelt wurde. Aber Magie mit Mathematik geht auch einfacher.

Der Kartentrick von Peirce basierte auf dem kleinen Satz von Fermat, gemäß dem für jede Primzahl p und jedes ganzzahlige a die Zahl a hoch p minus a immer ein Vielfaches von p ist. Für die Vorführung des Tricks wurden zwei Kartenstapel so geordnet, dass eine bestimmte, nicht ganz einfache Beziehung zwischen beiden Anordnungen bestand. Dann wurde der erste Stapel gemischt und der zweite Stapel abgehoben. Und siehe da, die Beziehung zwischen beiden Anordnungen blieb erhalten. Der Trick war so komplex, dass Peirce allein 13 Druckseiten benötigte, um seine Durchführung zu beschreiben. Für die Erklärung der Funktionsweise waren sogar 52 Seiten nötig. Seine Wirkung auf das Publikum blieb trotz des enormen Aufwandes wohl eher bescheiden.

Ich zeige Ihnen heute einen Trick für faule Zauberer: Er ist ganz einfach und kommt trotzdem meist ziemlich gut beim Publikum an.

Durchführung: Die Zahlen 1 bis 16 werden fortlaufend in vier Zeilen zu je vier Zahlen untereinander aufgeschrieben. Die erste Zeile besteht also aus den Zahlen 1, 2, 3, 4 und die vierte Zeile aus den Zahlen 13, 14, 15, 16. Ein Zuschauer wählt nun eine beliebige Zahl aus. Dann wird die Zeile und Spalte, in der sich die gewählte Zahl befindet, gestrichen. Anschließend wählt der Zuschauer unter den verbliebenen Zahlen eine weitere Zahl und abermals werden alle Zahlen in der zugehörigen Zeile und Spalte gestrichen. Dieser Vorgang wiederholt sich, bis der Zuschauer insgesamt vier Zahlen ausgewählt hat. Diese werden vom Zuschauer addiert. Als Summe ergibt sich eine Zahl, die der Zauberer aufgrund seiner „hellseherischen“ Fähigkeiten schon am Anfang verdeckt auf einen Zettel geschrieben und in einen Briefumschlag gesteckt hat.

Im folgenden Beispiel wählte der Zuschauer die Zahlen 7, 1, 12, 14. Die Summe der Zahlen ist 34.

Ein Mathe-Trick für faule Zauberer

Abbildung von Vlad Sasu

Können Sie erkennen, wie dieser Trick mathematisch funktioniert?

Hier ist ein Tipp: Der Trick hat eine Beziehung zu sogenannten magischen Quadraten. Ein 4×4 magisches Quadrat ist ein Zahlenschema wie oben, wobei aber die Zahlen – anders als im obigen Fall – so angeordnet sind, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und beiden Diagonalen jeweils dieselbe Zahl ergibt. Diese Zahl heißt magische Zahl und ist für ein magisches Quadrat, das aus den Basiszahlen 1 bis 16 besteht (1 + 2 + 3 + … +16)/4 = (16 x17)/(2 x 4) = 34. Es besteht also eine gewisse Verwandtschaft zu unserem Trick.

Das wohl berühmteste magische Quadrat findet sich übrigens in Albrecht Dürers (1471-1528) Kupferstich Melencolia I, der vor ziemlich genau einem halben Jahrtausend gefertigt wurde und aufgrund der komplexen Symbolik als Dürers rätselhaftestes Werk gilt. Das magische Quadrat in der oberen rechten Ecke besteht aus den Zahlenreihen:

16  3  2  13
5  10  11  8
9  6   7   12
4  15  14  1

Die letzte Zeile enthält die Zahlen 15 und 14, hintereinander ergeben sie das Jahr der Entstehung des Kunstwerkes. Daneben stehen die Zahlen 4 und 1, die auf Dürers Initialen D und A hinweisen. Können Sie noch weitere interessante Details dieses magischen Quadrats entdecken?

 

36 Kommentare


  1. Bei Dürer geht es um Christus, der ja 34 wurde / geworden wäre. Die andere Anspielungen kannte ich nicht, danke!

  2.   tecate

    Magische Quadrate haben stets interessante Symmetrien.

    Beim Vierer-Quadrat ist die Anordnung der Zahlen ganz regelmäßig. Die stärkste symmetrische Eigenschaft ist wohl, dass eine Zahl, die über den Mittelpunkt gespiegelt wird, mit der gegenüberliegenden Zahl je 17 in der Summe ergibt (=34/2)

  3.   tecate

    Jedes Viertel ergibt in der Summe übrigens auch 34, und die mittleren 4 ebenfalls…

  4.   de.sch

    „Mathematik ist zauberhaft. Und zwar auf ganz vielfältige Weise.“

    Yes! Das hier zum Beispiel:

  5.   Christoph

    Spur = Summe der Diagonalelemente. Im oberen Fall ist das 1+6+11+16.

    Die Spur für das Produkt zweier Matrizen kommutiert, bedeutet Spur(A.B) = Spur(B.A). Das kann man mit Summenumformungen beweisen.

    Zwei Matrizen A und B sind ähnlich, wenn es eine Matrix P gibt mit (P^-1).A.P = B. Die Spur ähnlicher Matrizen ist gleich, weil Spur(P^(-1).A.P) = Spur(P.(P^-1).A) = Spur(A). (Bei der ersten Umformung verwende ich die Kommutativität).

    Ich vermute, dass hier für P einfach eine Vertauschmatrix genommen wurde, mit der man dann die Elemente 1, 7, 12, 14 in die Diagonale einer ähnlichen Matrix bringen kann und somit dieselbe Spur bekommt.

    q.e.d :)

  6.   tecate

    @ 5 Keine Ahnung, was Sie da schreiben, ich bin der mathematischen Sprach nicht mächtig, aber in den Viererecken verteilen sich die diagonalen 14 und 12 um den Mittelwert 13, und 7 und 1 um den Mittelwert 4. 13+4=17=34/2. Dasselbe im Vierer links oben: Mittelwerte 13 und 4. Die Vierer rechts oben und links unten haben die Mittelwerte 12 und 5. Das hat irgendwas mit der Verteilung von gerade und ungerade zu tun…

  7.   Johannonymous

    Christoph trifft’s genau: Zur Erläuterung
    Die Zahlen müssen hier so ausgewählt werden, dass sie weder in Zeile noch in Spalte mit einer anderen übereinstimmen (das wird durch das streichen gewährleistet).
    Exemplarisch wird das durch die Diagonalelemente erfüllt (1,6,11,16), deren Summe genannt die Spur ist 34. Durch vertauschen einer Spalte i mit einer anderen j (wobei i und j zahlen von 1-4 sind) und anschließendem vertauschen der Zeile j mit der Zeile i, können auch alle anderen möglichen Zahlenkombinationen auf die Diagonale gebracht werden, Christoph führt aus, warum das die Summe nicht ändern kann.

    Am Beispiel: angenommen wir haben die zahlen (1,6,11,16) gewählt: 1+6+11+16=34
    Nehmen wir nun an statt der 1 wollen wir die 2 wählen, das wiederum verbietet uns die wahl der 6 als zweite zahl, wollen wir 11 und 16 beibahalten bleibt uns nur die 5 übrig: (1+1)+(6-1)+11+16=2+5+11+16=34
    auf dem selben weg ist jede zulässige kombination ereichbar ohne dass sich die Summe ändern würde

  8.   Christoph

    @6 Sie haben recht. Ich habe auch vorher Blödsinn geschrieben. Mit meiner Methode hätte man nur die Diagonalelemente vertauschen können. In dieser speziellen Matrix kann man beliebig Zeilen oder Spalten vertauschen, ohne was an der Summe der Diagonale zu verändern, weil die Differenz von 2 Zeilen oder 2 Spalten, an jeder Stelle denselben Wert hat. Die Zeile (5, 6, 7, 8) hat mit der Zeile (9, 10, 11, 12) die Differenz (4, 4, 4, 4). Also kommt in der Diagonale beim Vertauschen +4 -4 = 0 dazu.

    Wenn ich nochmal klugscheißen möchte, würde ich also sagen: Bei unserer gegebenen Matrix A ist spur(A.C) = spur(A), wobei C eine beliebige Permutation aus Einheitsvektoren ist.

  9.   norbertZ

    Das ganze funktioniert ja auch mit … 3×3 (15), 5×5 (65), 6×6 (111), etc. pp. Quatraten. In Klammern steht die jeweilige magische Summe (magische Zahl).

  10.   Reinhard Peda

    Da hab ich mal nee reale Denksportaufgabe aus der Wirtschaft:

    Die japanische Nationalbank kauft alle Staatsschulden, samt weiterer Schulden in voller Höhe der öffentlichen Hände, in Yen notierend, auf. Bekannt ist ja, das alles Geld der Welt nur als Kredit, von den Banken aus dem Nichts geschaffen, existiert. Banken erhalten Geld für Staatsschulden, usw. zurück, womit Abschreibungen aufs Eigenkapital wie bei Haircut nicht erfolgen werden. Dieses Geld verschwindet wieder im Nichts aus dem es gekommen ist. Andere Anleger dieser Anlagen erhalten ihr Geld auch in voller Höhe zurück, haben keine Verluste zu erleiden und höchstens ein Anlageproblem.

    Das Geld für den Ankauf dieser Schulden durch die japanische Nationalbank, wurde auch aus dem Nichts erschaffen. Alle Schuldepapiere Japans und seiner öffentlichen Hände gehören der Nationalbank. Schulden und Geldforderungen werden von Japans Nationalbank vernichtet. Das von der Nationalbank geschaffene Geld ist nicht mehr Existent.

    Japan samt aller öffentlichen Hände sind Schuldenfrei.

    Wer findet den Denkfehler oder ist da eventuell keiner!?

    Mfg Reinhard Peda