Was fällt einem Mathematiker zum 14.3. ein? Ja, natürlich, dass heute von den Fans der Kreiszahl Pi weltweit der Pi-Tag gefeiert wird. Deshalb geht es hier ebenfalls um die faszinierendste aller Zahlen. Warum ausgerechnet der 14. März? Weil die ersten drei Stellen von Pi (3,14) nun im Datum auftauchen – für Englischsprachige jedenfalls, die den Monat vor den Tag stellen.
Es sieht so aus, als hätte ich das Thema falsch aufgefasst, wenn ich jetzt mit Wiener Würstchen beginne. Habe ich aber nicht. Je mehr es sind desto besser. Denn sehr viele Wiener Würstchen verraten nämlich auch sehr viel über Pi.
Stellen Sie sich dazu Folgendes vor: Ein Küchenboden bestehe aus länglichen Kacheln mit geraden Fugen zwischen diesen. Ganz willkürlich werfen wir Wiener Würstchen der Länge L darauf (vorher putzen nicht vergessen, denn ich will nicht schuld sein, dass Sie Lebensmittel wegschmeißen). Wenn der Boden keine Fugen hat, platzieren sie vorher Klebestreifen auf ihm mit gleichem Abstand d = 2L, gemeint ist die doppelte Würstchenlänge.
Abbildung bearbeitet von Vlad Sasu
Wie wahrscheinlich ist es nun, dass ein willkürlich geworfenes Würstchen eine Fuge schneidet? Der Würstchenmittelpunkt kann dabei ganz beliebig zwischen zwei Fugen platziert und die Ausrichtung des Würstchens ebenso beliebig über die Richtungen des Küchenbodens verteilt sein. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein achtlos geworfenes Würstchen Fuge oder Klebestreifen schneidet, genau der Kehrwert von Pi (allgemein 2 x L/(d x Pi) was für obiges d den Kehrwert von Pi ergibt).
Wenn man ganz viele Würstchen wirft, dann wird der Anteil der Würfe, bei denen eine Überschneidung auftritt, ungefähr diese Wahrscheinlichkeit sein. Je mehr Würstchen, desto genauer ist die Annäherung. Also kann man aus dem Kehrwert des Anteils eine Annäherung für die Kreiszahl errechnen.
Woher die vielen Würstchen wissen, wie sie fallen müssen, damit man in Bezug auf Pi etwas mit ihnen anfangen kann? Das ist eine philosophische Frage, der ich hier weitgehend ausweiche. Was aber klar und genauso faszinierend ist, ist die Tatsache, dass selbst ein Haufen Würstchen Schwarmintelligenz aufweist. Also eine Form davon, die in unbelebten Objekten aufgrund des statistischen Gesetzes der großen Zahlen auftritt.
Im Jahr 1901 hat sich Mario Lazzarini diese Intelligenz zunutze gemacht. Statt Würstchen warf er eine Nadel der Länge L = 2,5 cm insgesamt 3.408 Mal auf ein Linienmuster mit Linienabstand d = 3 cm und erhielt 1.808 Würfe mit Überschneidungen. Lazzarini erhielt also als Annäherung für Pi den Wert 3,1415929. Ein Wert also, der auf sechs Nachkommastellen korrekt ist.