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Was Wiener Würstchen über Pi verraten

 

Was fällt einem Mathematiker zum 14.3. ein? Ja, natürlich, dass heute von den Fans der Kreiszahl Pi weltweit der Pi-Tag gefeiert wird. Deshalb geht es hier ebenfalls um die faszinierendste aller Zahlen. Warum ausgerechnet der 14. März? Weil die ersten drei Stellen von Pi (3,14) nun im Datum auftauchen – für Englischsprachige jedenfalls, die den Monat vor den Tag stellen.

Es sieht so aus, als hätte ich das Thema falsch aufgefasst, wenn ich jetzt mit Wiener Würstchen beginne. Habe ich aber nicht. Je mehr es sind desto besser. Denn sehr viele Wiener Würstchen verraten nämlich auch sehr viel über Pi.

Stellen Sie sich dazu Folgendes vor: Ein Küchenboden bestehe aus länglichen Kacheln mit geraden Fugen zwischen diesen. Ganz willkürlich werfen wir Wiener Würstchen der Länge L darauf (vorher putzen nicht vergessen, denn ich will nicht schuld sein, dass Sie Lebensmittel wegschmeißen). Wenn der Boden keine Fugen hat, platzieren sie vorher Klebestreifen auf ihm mit gleichem Abstand d = 2L, gemeint ist die doppelte Würstchenlänge.

Wiener-Würstchen
Abbildung bearbeitet von Vlad Sasu

Wie wahrscheinlich ist es nun, dass ein willkürlich geworfenes Würstchen eine Fuge schneidet? Der Würstchenmittelpunkt kann dabei ganz beliebig zwischen zwei Fugen platziert und die Ausrichtung des Würstchens ebenso beliebig über die Richtungen des Küchenbodens verteilt sein. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein achtlos geworfenes Würstchen Fuge oder Klebestreifen schneidet, genau der Kehrwert von Pi (allgemein 2 x L/(d x Pi) was für obiges d den Kehrwert von Pi ergibt).

Wenn man ganz viele Würstchen wirft, dann wird der Anteil der Würfe, bei denen eine Überschneidung auftritt, ungefähr diese Wahrscheinlichkeit sein. Je mehr Würstchen, desto genauer ist die Annäherung. Also kann man aus dem Kehrwert des Anteils eine Annäherung für die Kreiszahl errechnen.

Woher die vielen Würstchen wissen, wie sie fallen müssen, damit man in Bezug auf Pi etwas mit ihnen anfangen kann? Das ist eine philosophische Frage, der ich hier weitgehend ausweiche. Was aber klar und genauso faszinierend ist, ist die Tatsache, dass selbst ein Haufen Würstchen Schwarmintelligenz aufweist. Also eine Form davon, die in unbelebten Objekten aufgrund des statistischen Gesetzes der großen Zahlen auftritt.

Im Jahr 1901 hat sich Mario Lazzarini diese Intelligenz zunutze gemacht. Statt Würstchen warf er eine Nadel der Länge L = 2,5 cm insgesamt 3.408 Mal auf ein Linienmuster mit Linienabstand d = 3 cm und erhielt 1.808 Würfe mit Überschneidungen. Lazzarini erhielt also als Annäherung für Pi den Wert 3,1415929. Ein Wert also, der auf sechs Nachkommastellen korrekt ist.

41 Kommentare

  1.   Hauke Hell

    Das sind aber keine echten Wiener Würstchen! Die sind größer und ein bisschen krumm, womit sich die Frage stellt, was nun als Länge zu rechnen ist: der Abstand zwischen den Enden oder die Länge des gestreckten Würstchens?

    Und wenn man nicht ein Würstchen ganz oft, sondern viele davon wirft, ist dann mit der mittleren Länge zu rechnen?

  2.   Marcel

    Für den pi-day wurde auch die Jahreszahl mit einbezogen.
    M/D/YY 3.14(.)15.

  3.   w. zach

    die streifen auf dem foto haben etwa den abstand einer wuerstchenlaenge und so ist der versuch wohl auch gemeint – lt. text soll der abstand der streifen die doppelte wuerstchenlaenge sein!

    ich empfehle, texte vor der veröffentlichung auch mal kritisch durchzulesen.


  4. Geht noch schneller mit dem Computer und nennt sich „Monte-Carlo Simulation“.

    @ #1: Längendefinition unterscheidet sich nur in der Skalierung bei gleicher Würstchenkrümmung. Das Pi-Resultat ist das gleiche.

  5.   Jared

    Auf dem Bild ist der Linienabstand d~l, nicht d=2l. Was aber nichts daran ändert, dass pi als Faktor im Ergebnis auftaucht.

    Das Ganze heißt „Buffon’sches Nadelproblem“, ein Beweis findet sich hier:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Buffonsches_Nadelproblem

  6.   effdee

    Ja, PI hat wirklich eine große Bedeutung (und nicht nur durch Verdopplung bei Kleinkindern).

    Aber ich frage mich immer, ob die Eulersche Konstante ‚e‘ nun eine größere Bedeutung hat oder nicht. (Gibt es eigentlich einen analogen Tag – den ‚e‘- oder Euler-Tag? [Tag deutsch, nicht englisch ‚tag‘!])


  7. @ #3

    Euler: exp(i*Pi) +1 = 0 ; e und Pi gehören untrennbar zusammen

  8.   Gauke Gell

    versteh ich nich.

  9.   effdee

    @#4: Ja, schon klar – aber das meinte ich nicht. Als Schmalspurphysiker habe ich mich immer gefragt, ob in den Gleichungen der Physiker eher ‚e‘ oder ‚pi‘ den gewichtigeren Anteil spielt. In „meinen“ Gebieten TheoMech, ElDyn und QM schien mir ‚e‘ den entscheideren Einfluß zu haben, „denn PI ist ja bloß eine Kontante“.

  10.   Bernd Burkert

    Ich glaube ich habe die Lösung: Der Fliesenleger hieß Heisenberg! ;-)
    (Die Fugenbreite führt bei diesem Meßverfahren zu einer Ergebnisunschärfe)
    LOL, sehr schöner Artikel!