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Paradoxe Mathematik des Benzinverbrauchs

 

Stellen Sie sich vor es ist Ferienbeginn und Sie gleiten in Ihrem Wagen urlaubsvorfreudig die Straße entlang. Grüne Landschaft und blauer Himmel fliegen an Ihnen vorbei und dann, früher oder später, meldet sich die Tankanzeige und erinnert Sie daran, dass Autofahren heutzutage ganz schön teuer ist. Interessiert mich nicht, werden Sie vielleicht sagen, mein Auto verbraucht extrem wenig. Aber sind Sie sicher, dass Ihr Fahrzeug so sparsam ist? Wie wir gleich sehen werden, kann die Antwort darauf nämlich ganz unterschiedlich aussehen, je nachdem, mit welchen Einheiten man rechnet. Klingt paradox? Sehen Sie selbst:

Wie wirtschaftlich ein Auto ist, wird in Europa daran gemessen, wie viel Treibstoff man dem Motor für eine festgelegte Strecke von 100 km füttern muss – also in Litern pro 100 Kilometer (L/100km). In den USA pflegt man die umgekehrte Sichtweise und misst die Wirtschaftlichkeit in Meilen pro Gallone (mpg). Es wird also die mit einer festgelegten Menge Treibstoff von 1 Gallone fahrbare Strecke angegeben. Natürlich kann das eine in das andere umgerechnet werden.

1 Gallone = 3,79 Liter (L)
1 Meile = 1,61 Kilometer (km)

Hier eine kleine Knobelaufgabe für zwischendurch: Wie viel mpg entspricht also ein Verbrauch von einem Liter pro 100 Kilometer? Und wie lässt sich ganz allgemein der Verbrauch in mpg aus der Angabe x Liter pro 100 Kilometer errechnen? Die Antwort finden Sie am Ende dieses Blogeintrags.

Ein paradoxes Gedankenexperiment

Nehmen wir nun einmal an, ein deutscher und ein amerikanischer Ingenieur wollen die Wirtschaftlichkeit zweier Fahrzeugtypen Alt und Neu vergleichen. Die beiden Ingenieure testen jeweils ein Fahrzeug vom Typ Alt und eines vom Typ Neu im Stadtverkehr und auf der Autobahn – unter gleichen Bedingungen. Ihren Verbrauch erfassen die Ingenieure in den ihnen vertrauten Einheiten:

TabelleBenzin

Aus Sicht des deutschen Ingenieurs ist ein Fahrzeugtyp umso wirtschaftlicher, je geringer sein Literverbrauch auf 100 Kilometern ist. Das ist bei Fahrzeugtyp Neu der Fall mit einem mittleren Verbrauch von nur 7 L/100 km gegenüber 8 L/100 km bei Fahrzeugtyp Alt.

Für den amerikanischen Ingenieur gilt natürlich ein Fahrzeugtyp als umso effizienter, je länger die Strecke ist, die mit einer Gallone Benzin gefahren werden kann. Seltsamerweise, da im Widerspruch zur Schlussfolgerung des deutschen Ingenieurs stehend, ist das der Fahrzeugtyp Alt. Sein Mittelwert von 39,3 mpg weist auf größere Effizienz als der von Fahrzeugtyp Neu mit 34,3 mpg.

Die beiden Ingenieure kommen also zu völlig konträren Schlussfolgerungen. Und das, obwohl sich beide auf dieselben Tatsachen beziehen, die in Form von Daten lediglich auf verschiedenen Skalen festgehalten werden. Wie kann man diesen offensichtlichen Widerspruch auflösen? Welcher Fahrzeugtyp ist wirtschaftlicher?

Um sich für dieses scheinbare Paradox in Form zu bringen, könnten Sie sich zunächst mit folgender Aufgabe aufwärmen:
Ein Jogger legt eine gewisse Strecke mit 5 km/h Geschwindigkeit zurück. Anschließend ist er aber unzufrieden mit seinem gemächlichen Tempo und möchte durch größere Geschwindigkeit auf dem Rückweg seinen Durchschnitt für beide (gleich langen) Strecken auf 10 km/h erhöhen. Wie schnell muss er zurücklaufen?

 

Und hier noch, wie versprochen, die Lösung für die obige Knobelaufgabe: Der Verbrauch von 1 L/100km entspricht 100 x 3,79/1,61 = 235,4 mpg. Um die Wirtschaftlichkeit eines Autos in mpg zu berechnen, teile man also 235,4 durch die Anzahl der verbrauchten Liter pro 100 Kilometer.

41 Kommentare


  1. Wie ist der Unterschied von Rechts- zu Linksverkehr?

  2.   suprafluid

    Der Fehler liegt in der Berechnung des mpg-Mittelwerts.

    Um es über den Jogger aufzurollen: nachdem der Gute 5 km mit 5 km/h gelaufen ist, war er eine Stunde unterwegs. Nun möchte er noch weitere 5 km laufen und für Hin- und Rückweg *zusammen* nur eine Stunde brauchen. So lange war er aber schon unterwegs. Er kann sich unmöglich auf 10 km/h steigern, es sei denn, er kann teleportieren, apparieren oder wird gebeamt.

    Seine Endgeschwindigkeit ist eben nicht der Mittelwert der Einzelgeschwindigkeiten beider Wege, sondern das sogenannte harmonische Mittel. Entsprechend ist der zusammengefasste mph-Verbrauch auch nicht der mph-Verbrauch über Stadt und Autobahn.

    Für Alt: $mpg_{ges} = 2/(\frac{1}{58,9} + \frac{1}{19,6}) = 29,4$.
    Für Neu: $mpg_{ges} = 2/(\frac{1}{39,2} + \frac{1}{29,4}) = 33,6$.

    Und da haben wir’s. Das neue Modell schafft im Schnitt 4 Meilen mehr pro Gallone. mph ist eine für den Alltagsgebrauch nützliche, für den Vergleich verschiedener Fahrzeuge jedoch völlig ungeeignete Einheit, da sie nicht linear skaliert ist: so verschleiert sie das Einsparungspotential durstiger Fahrzeuge.

    Ersetze ich meinen alten Kleinwagen (33 mpg) gegen einen neuen Hybrid (50 mpg), spare ich eine Gallone Benzin pro 100 Meilen. Tausche ich hingegen meinen alten SUV (10 mpg) gegen einen neuen (20 mpg), spare ich auf 100 Meilen 5 Gallonen Sprit. Faustregel beim Autokauf in den USA: je mehr mein alter Wagen schluckt, desto mehr profitiere ich schon von kleinen Änderungen des mpg-Wertes.

  3.   1iglupedi

    Beamen, apparieren oder teleportieren ist weder effektiv noch effizient vom Energieaufwand her. Autos sind dafür nicht entwickelt worden, Menschen nicht dafür konzipiert, denn wenn sie versuchen, sich zu teilen, laufen sie Gefahr, sich nicht wiederzufinden. Und was dabei rauskommt, ist bestimmt nichts Gescheites.

    wer langsam geht, kommt auch ans Ziel. Warm soll ich was berechnen, was mir selbst und anderen nicht zugute kommt, sondern nur um des Rechnens willen? Wers mag, kanns ja mögen. Ich hab keinen Führerschein, mag keine Maschinen, die nach Tod und Verderben (Öl und Benzin) riechen, beim Autofahren steigt mit dem „Grad“ der Kurven“dichte“ die Streikbereitschaft meines Vestibularsystems und für leistungssportlich-leichtathlethische Übungen, die mir früher Spaß gemacht haben, habe ich habe ich heute weder die Ausdauer noch die Ambition. Ich bewege mich gern und viel, das „Mitrechnen“, damit ich das Gleichgewicht nicht verliere, ist mehr als genug für mein kleines intracranielles Prozessortechnik-System biochemisch-elektrischer Funkt-Ion*sWeise. Viel Spaß…

  4.   binunterwegs

    Welcher Fahrzeugtyp ist wirtschaftlicher? Die Antwort erscheint auf dem ersten Blick simpel. Unter der Annahme, dass die zurückgelegten Strecken in der Stadt und auf dem Land gleich lang sind hätte der deutsche Ingenieur recht und das neue Auto ist wirtschaftlicher. Unter der Annahme, dass der Durchschnittsfahrer gleich lang in der Stadt und auf der Autobahn fährt, hätte der amerikanische Ingenieur recht. Schließlich wäre zurückgelegte Strecke auf der Autobahn unter dieser Prämisse auch deutlich länger. Möglicherweise entspricht dies sogar amerikanischen Verhältnissen. Paradox erscheint mir da zunächst überhaupt nichts.
    Zu berücksichtigen wäre natürlich ein verändertes Fahrverhalten. Wenn ein Auto nur 4 l/100km auf der Autobahn verbraucht, aber satte 12 l/100 km in der Stadt, so würde ich auch einen Umweg auf der Autobahn wählen. Beim neuen Auto wähle ich häufiger einen kürzeren Weg durch die Stadt, um Benzin zu sparen. Mit anderen Worten: Um die Frage sinnvoll zu beantworten, müsste man wissen sich Stadt und Landfahrten tatsächlich zueinander verhalten und ob der Verbrauch Einfluss auf die gewählte Wegstrecke hat. Bei modernen Navigationsgeräten kann man es sogar einstellen.

  5.   Christoph

    Auf die Umrechnungsformel kommt man folgendermaßen:
    1 Gallone = 3,79 Liter (L)
    1 Meile = 1,61 Kilometer (km)
    Man kann also Liter durch eine Division mit 3,79 und Meilen durch eine Division mit 1,61 umrechnen. Wenn man das bei k L/(h km) macht, bekommt man k*1,61/(h*3,79). Die 1,61 werden deswegen multipliziert, weil der Nenner dividiert wird und man damit einen Doppelbruch erhält. Somit habe ich den Wert für Gallonen/Meile. Meile/Gallone ist genau der Kehrwert, also h*3,79/(k*1,61) und mit Einsetzen von 100 und 1 bekomme ich die Umrechnung.

    Bei variablen Litern auf 100 km erhalte ich eine Umrechnungsfunktion f(k)=100*3,79/(k*1,61). Der arithmetische Mittelwert zwischen f(k) und f(j) ist
    (100*3,79/(k*1,61) + 100*3,79/(j*1,61))/2, also 100*3,79/3,22*(1/k+1/j). Auf selben Nenner gebracht ist das 100*3,79/3,22*(k+j)/(k*j). Das ist, wie ein Vorposter gesagt hat, nichtlinear. Das heißt, es gibt Werte, wo das Erhöhen von k oder j nicht zu einer Verringerung des Mittelwerts der Funktionswerte führt. Mit den Werten im Artikel wird das veranschaulicht.


  6. Es gibt ein anderes schönes Rätsel, mit ähnlichem Kniff (vielleicht auch zur Verdeutlichung des o.s. Sachverhaltes geeignet):

    Ein Flugwettbewerb. Mehrere Flugzeuge (Propeller-Typ) wollen eine gerade Strecke fliegen, dann um eine Bergspitze herum wenden und dieselbe Strecke zurückfliegen. Jedes Flugzeug fliegt einzelnd.
    Vormittags ist es Windstill.
    Nachmittags kommt Wind auf und zwar in Streckenrichtung. Nun geht die Diskussion los: Haben die Flugzeuge, die Nachmittags fliegen durch den Wind einen Vor- oder Nachteil oder weder noch? Immerhin fliegen sie ja dieselbe Strecke mit Gegen- wie mit Rückenwind.
    Wie siehts aus?

  7.   HURR DURR

    Mit Tankrechnungsprotokollierung kann man sich den Urlaub allerdings auch vermiesen. „Was, 150 Euro für Sprit, nur um in die Provence zu kommen??“


  8. Also bei meinem Urlaub war mir schon zum Zeitpunkt der Buchung klar, dass wir wohl 2x volltanken werden müssen, 180 euro.

  9.   wd

    An Peerchen
    Rechnen bringt es
    Sei vf Geschwindigkeit Flugzeug und vw Geschwindigkeit Wind
    Windstille: Zeit=2*Strecke/vf
    Mit Wind: Zeit=2*Strecke/(vf – vw²/vf)
    Mit Wind braucht man immer länger, da vf – vw²/vf immer kleiner ist als vf

  10.   BMMMayr

    #4 hat es auch entdeckt:

    Das neue Auto ist auf der Autobahn weniger sparsam aber in der Stadt sparsamer. Es kommt also drauf an wo man mehr fährt.

    Das arithmethische Mittel der l/100km nimmt implizit an, dass man in Stadt und Land gleiche Strecken fährt, die mpg, dass man gleich Mengen an Sprit verfährt, daher der vermeintliche Unterschied.

    In der Realität kommt es drauf an.
    Und das Beispiel zeigt sehr schön, dass Mathematik nur die Werkzeuge liefert, für dir richtige Anwendung dieser Werkzeuge ist der Anwender verantwortlich.