Was haben der Komponist Arnold Schönberg, der Musiker Benny Goodman und der pakistanische Premierminister Malik Khalid gemeinsam? Selbst Quiz-Champions dürften bei dieser Frage ins Schlingern kommen. Die Antwort lautet: Alle drei starben an einem Freitag dem 13. Fast tragisch mutet es an, dass Schönberg eine krankhafte Angst vor solch erklärten Unglückstagen hatte, generell fürchtete er sich vor der Zahl 13. Paraskavedekatriaphobie ist der medizinische Begriff dafür. Insofern wundert es mich nicht, dass er die 12-Ton-Musik begründete und nicht etwa die 13-Ton-Musik.
Bei vielen abergläubischen Menschen gilt Freitag der 13. als Unglückstag. Das hat christliche Wurzeln: Jesus starb an einem Freitag und er war nach dem letzten Abendmahl vom Dreizehnten in der Runde, Judas, verraten worden. Schauen wir uns den Tag aber mal mathematisch an. Sein Auftreten im Lauf der Jahre scheint relativ zufällig, doch gilt es, eine Besonderheit unseres Gregorianischen Kalenders zu berücksichtigen. Insbesondere die Regel für Schaltjahre: Das Jahr J ist ein Schaltjahr (mit 366 Tagen und zusätzlichem 29. Februar) wenn J durch 4, aber nicht durch 100 teilbar ist, oder wenn J durch 400 teilbar ist. So ist zum Beispiel 2000 ein Schaltjahr, nicht aber 1900. Die mittlere Länge eines Gregorianischen Jahres ist damit gleich 365,2425 Tage und damit nur geringfügig länger als ein tropisches Jahr, der Zeitspanne von einem Frühlingsanfang (Frühlings-Tag-und-Nachtgleiche) zum nächsten, nämlich 365,2422 Tage.
Da es sieben verschiedene Wochentage gibt und einen vierjährigen Zyklus bei den Schaltjahren, hat der Gregorianische Kalender eine 28-jährige Periode. Jedenfalls wenn man ignoriert, dass drei von vier Hunderterjahren keinen Schalttag haben. Berücksichtigt man dies, braucht es manchmal 40 Jahre, bis sich der Kalender wiederholt. Beides zusammengenommen führt dazu, dass der Gregorianische Kalender eine Periode von 400 Jahren durchläuft. Da 400 Jahre genau 4.800 dreizehnte Tage der Monate beinhalten, können darunter nicht alle sieben Wochentage gleich häufig vertreten sein; 4.800 ist nicht ohne Rest durch 7 teilbar.
Der nächste vermeintliche Unglückstag ist nicht fern
In der Tat ist es so, dass die Monatsdreizehnten am häufigsten auf einen Freitag fallen, insgesamt 688-mal in 400 Jahren beziehungsweise in 20.871 Wochen. Im Schnitt haben wir also alle 30 Wochen einen solchen Freitag. Am wenigsten oft tritt bei der Kombination von Tag und Wochentag übrigens Mittwoch der 31. auf. Insgesamt nur 398-mal in 400 Jahren oder rund einmal im Jahr. Das ist eine erhebliche Diskrepanz.
Aber wir wollen nicht vom Thema abschweifen, sondern vielmehr fragen, wie das mit den Abständen zwischen den Freitagsmonatsdreizehnten ist. Der kürzeste Abstand zwischen ihnen beträgt vier Wochen. Das kann nur in den Monaten Februar und März in Nichtschaltjahren funktionieren. Und in diesem Jahr 2015 tritt ein solcher Fall auf. Schon der 13. März 2015 wird wieder auf einen Freitag fallen.
Der längste Abstand zwischen zwei solchen Freitagen beträgt übrigens 61 Wochen. Dafür gibt es zwei Fälle: Entweder muss der 13. August ein Freitag und das darauffolgende Jahr ein Schaltjahr sein. Oder der 13. Juli ist ein Freitag und das nächste Jahr kein Schaltjahr. Im ersten Fall ist der 13. Oktober im zweiten Fall der 13. September des Folgejahres der nächste Freitag, der auch ein 13. ist.
Angesichts dieser Tatsachen ließe sich vermuten, in jedem Jahr würde es mindestens einen Dreizehnten geben, der auf einen Freitag fällt. Und das ist tatsächlich richtig. Wie aber beweist man das?
Am Einfachsten geht das mit der Modularithmetik. Sie ist auch als Uhrenarithmetik zu bezeichnen, im Alltag tritt sie bei den Tageszeiten auf. Zum Beispiel ist 18 Uhr plus 10 Stunden nicht etwa 28 Uhr, sondern 4 Uhr am nächsten Tag. Und 9 Uhr plus 50 Stunden ist 11 Uhr. Wenn also die Zahl 24 dabei überschritten wird, muss 24 vom Zwischenergebnis abgezogen werden, eventuell mehrfach. Das ist die Modularithmetik mit der Grundzahl 24, man rechnet also modulo 24.
13. Juni = Wochentag W + 31 = W + 4×7 + 3 = W + 3
Wir werden nun beweisen, dass in jedem Jahr während der Monate Mai bis November die Monatsdreizehnten auf alle sieben Wochentage fallen. Das geht mit Modularithmetik zur Grundzahl 7. Schreiben wir W für irgendeinen Wochentag. Dann soll W + 1 den nächsten Wochentag bezeichnen, der derselbe ist wie zum Beispiel W + 8. Dann ergibt sich in selbst erklärender Schreibweise:
13. Mai = Wochentag W
13. Juni = Wochentag W + 31 = W + 4×7 + 3 = W + 3
13. Juli = Wochentag W + 31 + 30 = W + 61 = W + 8×7 + 5 = W + 5
13. August = Wochentag W + 31 + 30 + 31 = W + 92 = W + 13×7 + 1 = W + 1
13. September = Wochentag W + 31 + 30 + 31 + 31 = W + 123 = W + 17×7 +4 = W + 4
13. Oktober = Wochentag W + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 = W + 153 = W + 21×7 + 6 = W + 6
13. November = Wochentag W + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 = W + 184 = W + 26×7 + 2 = W + 2
Damit sind alle sieben Wochentage vertreten, ganz egal um welchen Wochentag es sich bei W handelt. Auf „Mathe“: Die sukzessiven Partialsummen modulo 7 enthalten ein vollständiges Restklassensystem.
Doch bevor es zu theoretisch wird, wollen wir mit folgendem Gedankensplitter aufhören: Immer dann, wenn der Monat mit einem Sonntag beginnt, müssen sich Abergläubische für einen Freitag den 13. wappnen. Ich hoffe, diese Tatsache führt nicht zu einer bisher nicht gekannten Angststörung: der Furcht vor dem Sonntagsmonatsersten.