So manches an menschlichem Verhalten kann mit einer Mischung von Konkurrenz und Kooperation erklärt werden. Zusammenarbeit kann in bestimmten Situationen von Vorteil sein. Darum geht es: Nehmen wir ein kleines Spielchen, das einige von uns sicher gerade mit Freunden oder Kollegen spielen als Beispiel: Das Tippen auf die Ergebnisse der Fußball-WM-Partien.
Um die Rechnungen einfach zu halten, nehmen wir an, es gebe nur Anne, Karim und Tom, die am Tippspiel teilnehmen. Die drei wetten auf die Spielausgänge der letzten Runden der WM und zwar einfach nur, welche Mannschaft jeweils weiterkommt.
Alle drei setzen einen Euro als Einsatz und wer am Ende die meisten Sieger richtig getippt hat, gewinnt alle Einsätze. Bei Punktgleichheit unter den Teilnehmern wird unter den Punktgleichen geteilt.
Angenommen es gibt nun keine schwachen Mannschaften mehr, sodass die Gewinnwahrscheinlichkeiten für jede Begegnung 50:50 stehen. Dann haben Anne, Karim und Tom, wenn sie unabhängig voneinander tippen, alle dieselben Chancen etwas zu gewinnen oder zu verlieren. Im Mittel entspricht ihre Auszahlung genau ihrem Einsatz. Effektiver Profit für niemanden.
Nehmen wir nun an, dass Karim und Tom sich verabreden, eine Koalition gegen Anne zu bilden. Die beiden spielen die Strategie „Doppeltes Glück“: Karim tippt für jedes Spiel auf Sieg für eine Mannschaft, indem er eine Münze wirft und Tom tippt immer genau auf die andere Elf.
Diese Strategie sichert Karim und Tom einen gemeinsamen Profit auf Kosten von Anne, für die das Tippspiel zum Verlustspiel wird.
Man kann auch mit sich selbst koalieren
Am einfachsten sieht man das so. Angenommen, es werde nur auf ein Spiel gewettet. Wenn Anne falsch getippt hat, was mit Wahrscheinlichkeit ½ passiert, dann bekommt sie nichts. Wenn Sie aber richtig getippt hat, dann muss sie die 3 Euro im Topf entweder mit Karim oder mit Tom teilen. Annes Auszahlung ist also im Mittel 0 x ½ + 3/2 x ½ = ¾ Euro, nämlich der Durchschnitt von 0 Euro und 3/2 Euro.
Da sie aber 1 Euro eingezahlt hat, ergibt sich ein Verlust von 25 Cent, die gleichzeitig der erwartete Gewinn des Karim-Tom-Teams sind. Das ist eine Rendite von immerhin 25 Prozent. Nicht schlecht.
Die Strategie „Doppeltes Glück“ funktioniert immer. Ganz egal wie viel oder wenig Ahnung man vom Fußball hat. Auch auf die Münze kann verzichtet werden. Karim und Tom müssen nur immer entgegengesetzt tippen.
Wenn man keinen Tippkollegen hat, kann man mit sich selbst koalieren. Man geht mit 2 Euro Einsatz ins Rennen und wettet stets auf beide Mannschaften als Sieger.
Wir sehen, dass Anne für ihren Tipp schon eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 2/3 haben müsste, um den Vorteil der Koalition wettzumachen.
Haben es Karim und Tom mit zwei Gegnern zu tun, die nicht ihrerseits die Doppeltes-Glück-Strategie anwenden, steigt ihr Profit auf 33,3 Prozent für das Spiel, unter drei Gegnern auf 34,4 Prozent, unter vier Gegnern beträgt er 32,5 Prozent.
Das Ganze noch mal mathematischer
Und nun allgemeiner und als Formel: Außer Karim und Tom gibt es noch S weitere Spieler, die auf die Sieger in 2k + 1 Begegnungen tippen. Die Koalitionsbildung garantiert, dass einer der beiden Tippkollegen mehr als die Hälfte der Begegnungen richtig tippt. Wenn nun M der anderen Spieler ebenfalls mehr als die Hälfte der Begegnungen richtig getippt haben, dann ist die erwartete Auszahlung für Karim & Tom zusammen (S + 2)/(M+1). Die Zahl M ist dabei zufallsabhängig und nimmt Zahlen von 0 bis S an mit denselben Wahrscheinlichkeiten mit denen in S Münzwürfen entsprechend viele Kopfwürfe erzielt werden.
Mit einer kleinen Rechnung ergibt sich dann als Profit der Zweierkoalition der Euro-Betrag
[2 – (S + 2)/(2 hoch S)]/(S+1)
Die ungerade Anzahl der Begegnungen geht also interessanterweise nirgendwo in die Formel für den Profit der Koalition ein. Für eine gerade Zahl von Begegnungen ist das anders, wie die Mathematiker Peter Doyle, Joseph DeStefano und Laurie Snell errechnet haben.