Lesezeichen
‹ Alle Einträge

Qualen bei Wahlen

 

Am Wochenende hat die Europawahl stattgefunden. Deshalb befassen wir uns heute mit dem Thema Wahlen. Jeden Tag wird auf der Welt wohl hunderttausendfach gewählt, über die Zukunft des Klassensprechers oder Staatspräsidenten entscheiden Handzeichen und Stimmzettel. Was könnte gerechter sein?

Eine Wahl soll einen fairen Interessenausgleich in Gruppen mit unterschiedlichen Präferenzen gewährleisten. Doch es gibt zahlreiche Seltsamkeiten. Ein Beispiel: die Mehr-Stimmen-bekommen-ist-besser-Falle.Nehmen wir folgendes Szenario: Drei Kandidaten A, B, C stehen zur Wahl. Das Wahlvolk besteht aus 15 Wählern. Davon favorisieren drei die Alternative A gegenüber B und B gegenüber C. Wir schreiben diese Rangfolge als ABC. Sie tritt in der folgenden selbsterklärenden Tabelle als erste Zeile auf sowie die Präferenzreihungen der übrigen Wähler:

 

Zahl der Wähler Präferenz-ordnung
3 ABC
5 BCA
2 CAB
5 CBA

 

Das Wahlsystem ist zwei-rundig; Mehrheitsentscheid mit Stichwahl heißt es im Fachjargon. Das Verfahren wird in Frankreich bei der Wahl des Staatspräsidenten eingesetzt und in vielen deutschen Bundesländern für die Wahl des Bürgermeisters.

Jeder Wähler stimmt für einen Kandidaten. Wer in der ersten Runde die wenigsten Stimmen bekommt, scheidet aus. Anschließend entscheidet eine Stichwahl zwischen den verbleibenden Kandidaten. In der ersten Runde erhalten A, B, C jeweils 3 beziehungsweise 5 beziehungsweise 2 + 5 = 7 Stimmen. A scheidet demnach aus. Die Wähler mit der Präferenzreihung ABC werden bei der Stichwahl für B votieren, der nach dem Ausscheiden von A der nächste in ihrer Präferenzliste ist. In diesem zweiten Wahlgang erhalten B und C dann 3 + 5 = 8 beziehungsweise 2 + 5 = 7 Stimmen. B gewinnt.

Es ist naheliegend zu denken, dass sich Kandidat A über zusätzliche Unterstützung freuen würde. Über einen „Zwilling“ mit derselben Reihung für jeden seiner Wähler mit Präferenzen ABC. Das würde der gemeinsamen Position ein stärkeres Gewicht geben.

Wirklich? Nicht unbedingt! Stellen wir jedem der drei Wähler mit Präferenzordnung ABC einen Zwilling an die Seite. Dann gibt es statt 15 nun 18 Wähler und die Tabelle sieht so aus:

Zahl der Wähler Präferenz-ordnung
6 ABC
5 BCA
2 CAB
5 CBA

 

Was wird passieren? Im ersten Wahlgang erhalten A, B, C jetzt 6 beziehungsweise 5 beziehungsweise 2 + 5 = 7 Stimmen. B scheidet aus. Die Stichwahl zwischen A und C ergibt für A 6 Stimmen und für C 12 Stimmen. C ist Wahlsieger.

Ergo hat A aufgrund der zusätzlichen drei Zwillinge, die ihn alle auf Platz 1 haben (und C als schlechtesten Kandidaten ansehen), seine Unterstützung verdoppelt. Doch die Unterstützung bewirkt ausgerechnet die Wahl von Kandidat C, den alle A Wähler als schlechteste Wahl ansehen. Das ist das Zwillingsparadoxon in der Theorie der Wahlsysteme. Zusätzliche Unterstützung für den eigenen Favoriten kann also dem unliebsamsten Gegner erst zum Wahlsieg verhelfen.

Das ist nur eines von einem ganzen Strauß von Paradoxien in Wahlsystemen. Ab und an werde ich in diesem Blog auf das Thema Wählen zurückkommen. Ich bin sicher, Sie werden dann über Wahlen und Wahlsysteme nie wieder so denken wie davor. Sie werden womöglich bezweifeln, dass Demokratie im Idealzustand überhaupt möglich ist.

11 Kommentare

  1.   urban-a

    Warum gewinnt C nicht schon im ersten Durchgang er hat ja 7 Leute die ihn wählen. Ja nur 5 haben die Präferenz CBA aber die anderen zwei mit CAB sind ja auch für C im ersten Wahlgang.

    Die müssen ja zusammengezählt werden.
    Wahrscheinlich verstehe ich es nur nicht aber so wirkt es konstruiert.

    Der erste Wahlgang hätte ja schon ergeben:
    A->3
    B->5
    C->7

    Egal was man sich sonst wünscht!

  2.   Pepper6

    Da ich kein Mathematiker bin, nähere ich mich bei der Darstellung der Wahlergebnisse den Grenzen meines Verstehens. Ich will das an einem fiktiven Ergebnis mit mehreren Kandidaten verdeutlichen:

    Die Kandidaten A, B, C, D, E, F, G erhalten 7 beziehungsweise 5 + 3 = 8 beziehungsweise 14 + 7 = 21 beziehungsweise 8 + 5 = 13 beziehingsweise 25 + 6 = 31 beziehungsweise …

    Vorschlag zur Wahlrechtsänderung:
    Der Wähler kann seine abgestuften Präferenzen mit der Vergabe von 3 bzw. 2 bzw. 1 Punkt/en ausdrücken. Man bräuchte dann nur einen Wahlgang, was die Kosten für das Prozedere deutlich senken würde.

    Dann hätten beim ersten Beispiel die Kandidaten folgende Punktzahlen bekommen: A (23), B (33) und C (34). Kandidat C wäre Wahlsieger.

    Beim zweiten Beispiel mit 18 Wählern wäre die Stimmverteilung wie folgt: A (32), B (39) und C (37). Jetzt wäre Kandidat B der Wahlsieger.


  3. @urban-a
    Ich glaube, man sollte davon ausgehen, dass nur der im ersten Wahlgang gewinnt, der die absolute Mehrheit dabei schon erreicht. Dazu wären bei 15 Stimmen aber 8 Stimmen nötig und C hat „nur“ 7. Damit kommt es zur Stichwahl.

  4.   temper

    Ist die Tatsache das A Wähler eine höhere Präferenz auf B haben als B Wähler auf A und somit im Fall dass A B übertrumpft die B Wähler sich negativ auswirken ein Paradox? Ich finde das ist reichlich konstruiert und im realen Leben, werden sich wohl A und B nahe stehen und die Präferenzen entsprechend zu einem Wahlsieg von A führen…


  5. Wenn man schon darüber schreibt

    http://de.wikipedia.org/wiki/Arrow-Theorem

    sollte man ein bisschen mehr bringen. Das Thema an sich ist recht interessant, aber es so kurz abhandeln, das ist für Leute die das noch nicht kennen doch ein bisschen verwirrend.

  6.   hh59

    Sehr geehrter Herr Hesse,
    vielen Dank. Es ist schon lange überfällig, dass mal über Wahlsysteme gesprochen wird und sich die Erkenntnis breit macht, dass es andere Systeme gibt, die den Wählerwillen besser abbilden als die derzeit verwedeten, zB http://en.wikipedia.org/wiki/Range_voting

  7.   Reiner Wadel

    „Das ist nur eines von einem ganzen Strauß von Paradoxien in Wahlsystemen.“ Gilt ja wohl nur bei Mehrheitswahlsystemen.

  8.   6bb6

    Gut, dass in Deutschland Mathe keinen Menschen interessiert.

    In meinem Studium hat das mal ein Professor mit Prüfungsterminen vorgeführt: Der Hund hat erst einmal die Präferenzordnung bei vier Alternativen grob abgefragt und dann solange Stichwahlen zwischen zwei Möglichkeiten durchgeführt, bis das unbeliebteste Ergebnis gewonnen hat.

    Wenn man in einem Gremium den Beschlussantrag mit/selbst entscheiden kann (und der Rest nicht weiß, wie das geht) ist die Technik enorm hilfreich.

 

Kommentare sind geschlossen.