Im letzten Beitrag zum Schnellrechnen haben wir uns mit der Berechnung der Quadratwurzel beschäftigt, wenn das Wurzelziehen aus einer ganzen Zahl glatt aufgeht. Trifft das nicht zu, ist die Wurzel eine nicht abbrechende, sich nicht wiederholende Ziffernfolge. Dann lässt sich mithilfe einer Dezimalzahl bestenfalls eine Annäherung an die Wurzel erreichen – was oft vollkommen genügt. Wie das rasant und elegant geht, sehen wir heute.
Das folgende Verfahren funktioniert in dem Bereich, für den Sie die Quadrate ganzer Zahlen kennen. Nehmen wir an, das sei der Bereich bis zur Zahl 100. Als konkretes Beispiel berechnen wir die Quadratwurzel zu y = 23. Die größte Quadratzahl, die kleiner oder gleich y ist, lautet 16 = 4 x 4. Bei der gesuchten Lösung steht deshalb eine 4 vor dem Komma. Nennen wir diesen ganzzahligen Anteil z. Wir müssen noch den Nachkommaanteil annähern. Dazu schreiben wir die gesuchte Lösung als z + e.
Es ist dann y = (z + e) x (z + e) = z x z + 2z x e + e x e
Da e kleiner als 1 und damit schon recht klein ist, kann e x e gegenüber den anderen beiden Summanden vernachlässigt werden. Dann ist y also um ungefähr 2z x e größer als die Quadratzahl z x z. Um unsere Rechengeschwindigkeit hoch zu halten, betrachten wir nur drei Werte für e, nämlich 0,25 und 0,5 und 0,75. Für e = 0,25 ist 2z x e einfach die Hälfte von z, für e = 0,5 ist es gleich z und für e = 0,75 ist es das Eineinhalbfache von z.
Deshalb addieren wir nun zur Quadratzahl z x z zunächst die Hälfte von z beziehungsweise z beziehungsweise das Eineinhalbfache von z und prüfen, welcher dieser drei Werte am nächsten an y liegt. Der zugehörige Wert für e wird anschließend zu z addiert und ergibt unsere Approximation. Diese ist für die meisten praktischen Alltagszwecke ausreichend.
Nicht schlecht!
Addieren wir also zu 16 jetzt ½ x 4 = 2 beziehungsweise 1 x 4 = 4 beziehungsweise 3/2 x 4 = 6, so ergeben sich die Werte 18 beziehungsweise 20 beziehungsweise 22. Der letzte Wert liegt am Nächsten an 23. Der zugehörige Nachkommateil ist e = 0,75 und führt zu unserer Approximation 4,75. Der auf drei Nachkommastellen exakte Wert ist 4,795, sodass der Approximationsfehler geringer ist als 1 Prozent. Nicht schlecht also.
Haben Sie Lust, es einmal selbst auszuprobieren: Was sind die Quadratwurzeln von 85, 56, 77?