Nachdem wir uns in den letzten beiden Schnellkursen zum Schnellrechnen (Teil 6 und Teil 7) mit dem Ziehen von Quadratwurzeln beschäftigt haben, soll es heute um das Ziehen von Kubikwurzeln gehen. Für viele Menschen war das wahrscheinlich bisher recht schwierig, doch mit vedischer Mathematik aus Indien geht es in drei Sekunden.
Unter vedischer Mathematik versteht man ein System von Kopfrechenregeln, das von Bharati Krishna Tirthaji (1884 – 1960), einem früheren Abt des Klosters Govardhana Math in Puri, eigener Aussage zufolge aus den Veden herausgearbeitet wurde. Die Veden sind die heiligen Schriften des Hinduismus. Sie werden in der Regel auf etwa 1.200 vor Christus datiert. Tirthaji behauptete, dass schon aus dem Rig Veda, der ältesten der heiligen Veden, mathematische Rechentricks abgeleitet werden können. Dann wäre die vedische Mathematik eine der ältesten Rechenkünste überhaupt.
Die vedische Mathematik beruht auf 16 einfachen Grundregeln des Rechnens, die Sutren genannt werden; ein Kamasutra der Mathematik gewissermaßen. Die Regeln sind unkonventionell, führen aber zu einer hohen Rechengeschwindigkeit für bestimmte Rechenoperationen, die weitaus größer ist als die, die man gemeinhin mit den in der Schule unterrichteten Regeln erreicht. Es sind Regeln, mit denen sich auch einige komplizierte Aufgabenstellungen schnell lösen lassen. Sie werden heutzutage an einigen Universitäten in den USA und Indien in Seminaren unterrichtet.
Dritte Potenzen, leicht gelernt
Wir verwenden jetzt die vedische Mathematik, um zu einer Zahl zwischen 1.000 und 1.000.000 ziemlich schnell die Kubikwurzel zu ziehen, wenn wir wissen, dass diese ganzzahlig aufgeht. Die dritten Potenzen der Zahlen von 1 bis 9 können leicht gelernt werden. Sie lauten: 1 hoch 3 = 1, 2 hoch 3 = 8, 3 hoch 3 = 27, 4 hoch 3 = 64, 5 hoch 3 = 125, 6 hoch 3 = 216, 7 hoch 3 = 343, 8 hoch 3 = 512, 9 hoch 3 = 729
Schaut man sich diese Liste an, erkennt man, dass die Endziffern dieser neun Potenzen allesamt verschieden sind. Wir können also schon allein an der Endziffer der Kubikzahl z hoch 3 die Basis z erkennen. Ordnet man der Zahl z die Endziffer seiner Kubikzahl zu, so ergeben sich die Zahlenpaare (1,1), (2,8), (3,7), (4,4), (5,5), (6,6), (7,3), (8,2), (9,9). Diese Liste kann man sich ganz leicht merken: Bei den beiden extremen Werten 1 und 9 ist das Paar identisch, ebenso bei den mittleren Ziffern 4, 5, 6. Bei den übrigen findet eine Ergänzung zu 10 statt.
Mit dieser kleinen Beobachtung kommen wir einen großen Schritt weiter. Angenommen, wir haben eine Zahl zwischen 1.000 und 1.000.000 vor uns, die Kubikzahl einer zweistelligen Zahl ist. Die Einerstelle finden wir durch Vergleich mit obiger Liste von Paaren. Zum Beispiel führt eine Endziffer 3 bei der Kubikzahl auf eine Einerstelle 7 bei der Basis.
Ist die Einerstelle ermittelt, streicht man von der Kubikzahl die letzten drei Ziffern weg und schaut welche der obigen Kubikzahlen z hoch 3 gerade noch kleiner ist, als die nach Streichung verbleibende Zahl. Dieses z ist dann die Zehnerziffer der zu ermittelnden Kubikzahl.
Zeit für ein Beispiel
Wir zeigen dies exemplarisch an 117.649. Die Endziffer von 117.649 ist 9 und dies führt mit obiger Liste von Paaren auf eine Einerziffer von 9 bei der Basis. Nach dem Streichen der drei Endziffern bleibt 117. Gerade noch kleiner als 117 ist die Kubikzahl 4 hoch 3 = 64, da 5 hoch 3 mit 125 bereits größer ist als 117. Die Zehnerziffer ist also eine 4 und das Ergebnis somit die Basis 49. In der Tat ist 49 x 49 = 2.401 und 2.401 x49 = 117.649.
Hier sind einige Beispiele zum selber Experimentieren: 571.787, 2.197, 166.375.