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Mehr Fairness für die Welt

 

Vor ziemlich genau einem Jahr hatten wir uns an dieser Stelle mit einer Fairness-Formel für das Elfmeterschießen beschäftigt. Sie basierte auf einer seit knapp 100 Jahren bekannten mathematischen Zahlenreihe: der Thue-Morse-Folge. Heute zeige ich Ihnen eine andere Situation, in der sich einfaches Abwechseln als nicht optimal erweist. Um die Situation überschaubar zu halten, beschränken wir uns auf acht Objekte – bunte Bonbons verschiedener Geschmäcker –, die unter zwei Kindern aufgeteilt werden sollen, Anne und Bert.

Anne und Bert erstellen zunächst jeder für sich eine Rangliste der acht Bonbons, je nachdem, wie gern sie ein Bonbon hätten. Wir nummerieren die Bonbons in Annes Rangliste mit 12345678, wobei Bonbon 1 ihr das wichtigste ist und sie es unter allen am liebsten hätte. In dieser Belegung der Bonbons mit Zahlen sei Berts Rangliste 17263485. Annes und auch Berts Toppriorität ist also das Bonbon mit der Nummer 1.

Keiner kennt die Rangliste des anderen. Nur zur Vereinfachung unserer Darstellung haben wir die Bonbons entsprechend Annes Rangliste mit Zahlen benannt. Nehmen wir als Erstes an, Anne und Bert wechseln sich ab beim Wählen je eines Bonbons. Und ferner, dass Anne das Los gewonnen hat: Sie darf als erste ein Bonbon unter allen auswählen.

Keine Lieblingsbonbons für Bert

Da keiner die Rangliste des anderen kennt, gibt es keinen Ansatz für strategisches Auswählen und es ist für beide optimal, immer wenn sie am Zug sind, das auf ihrer Rangliste höchste noch verfügbare Objekt auszuwählen. Anne wählt also Bonbon 1. Bert wählt 7. Dann gibt es noch die Bonbons 2, 3, 4, 5, 6, 8 zu verteilen. Anne wählt 2, Bert wählt 6. Dann bleiben noch die Bonbons 3, 4, 5, 8. Anne nimmt 3, Bert nimmt 4. Es bleiben noch 5 und 8. Davon greift Anne bei 5 zu und Bert bei 8.

Anne hat also das 1., 2., 3. und 5. Bonbon auf ihrer Liste bekommen. Bert auf seiner Rangliste nur das 2., 4., 6. und 7. Bonbon. Im paarweisen Vergleich schneidet Bert also in allen Fällen schlechter ab. Ist das fair? Nein. Auch hier liegt der Grund wieder in der Reihenfolge nach der gewählt wird. Einfaches Abwechseln ist eine Form sich beständig verstärkender Benachteiligung des Zweiten gegenüber des zuerst Wählenden. Das wird ganz deutlich, wenn man zum Beispiel eine Anzahl beständig kleiner werdender Kuchenstücke betrachtet. In jeder Runde kann der, der zuerst wählt, ein größeres Stück einheimsen, als der andere. Und beim ständigen Abwechseln ist das unfairerweise immer ein und dieselbe Person. Aber das muss ja nicht sein.
Greifen wir wieder auf die Thue-Morse-Folge zurück: A, B, B, A, B, A, A, B.

Zuerst wählt Anne, wegen ihres Losglücks, dann wählt Bert zweimal, Anne einmal, Bert einmal, Anne zweimal und abschließend nimmt Bert das letzte Bonbon. Dann bekommt Anne das 1., 3., 4. und 5. Bonbon. Bert bekommt auf seiner Rangliste das 2., 3., 4. und 7. Bonbon. Das ist wesentlich fairer. Also: Es muss endlich Schluss sein mit schlichtem Hin und Her. Es lebe das ausgewogene Abwechseln nach Thue-Morse.

26 Kommentare

  1.   effdee

    @Jonas Hoffmann:
    Retrospektiv gesehen weiß ich nicht mehr, wer die beiden „Captains“ bestimmt hat – möglicherweiche durch allgemeine Akzeptanz. Jedenfalls war die Selektion nicht durch ‚guter Spieler/schlechter Spieler‘ bestimmt: da kam einiges mehr dazu, etwa individuelle Präferenzen etc. Dieser Auswahlvorgang ist/war durch wesentlich mehr Momente bestimmt als man spontan annehmen möchte.

    @Alle:
    Es ist auch völlig unerheblich, ob dieses Hessesche Modell die Realität exakt wiedergibt oder nicht – interessant ist doch bloß, dass man einem normalen, fast schon banalem, Sachverhalt Aspekte abgewinnen kann, die man durchaus mathematisch betrachten und sogar bewerten kann.

    Hierdurch erweitert der Herr Hesse unseren Blick auf die Alltagsselbstverständnisse, was man SO meistens eben nicht macht.

    Das IST verdienstvoll!

  2.   1iglupedi

    effdee,

    ja. So ist es. Und wenn eine „zusammengewürfelte“ Gruppe in ihrer Eigenschaft als Einheit, innerhalb derer die Einzelindividuen sich nicht kennen (ob die 1 und die 2 beispielsweise sich bekannt sind? Sie stehen so nah beieinander sind einander doch unendlich fern), wählt, dann weiss sowieso im voraus keiner, wer oder was „gut“ oder „schlecht“ ist. Es gibt Sportarten/Spiele, bei denen jede/r! zu „gebrauchen“ ist. Auf der Bank sitzen, während alle andern spielen, fühlt sich für den Abgespaltenen nicht besonders gut an.

    2. Gebot: Du sollst jede Zahl in ihrer Andersartigkeit als gleich wertig achten.

    *g*.

    Und ja, Herr Hesse erweitert mein Wahrnehmungsspektrum gewaltig und inspiriert mich zu geistigen Höhenflügen in Relation zu körperlichen Tiefpunkten :-))))…Wertigkeiten und die Hesse’sche Normalform *kicher*…

    Mathematiker und Liebe…pfffft…da geht’s doch auch nur um Perioden und Potenzen…

  3.   Randonneur

    Eine schöne Methode ist schon im Sachsenspiegel beschrieben: Einer teilt die Bonbons in zwei gleichwertige Haufen, der andere wählt aus. Damals für das Erbe teilte der ältere Bruder und der jüngere wählte.

  4.   suprafluid

    Die Argumentation überzeugt mich nicht. Nehmen wir an, Anne hat die Prioritätenliste 1-4-6-7-8-5-3-2 und Bert hat 1-2-3-4-5-6-7-8 und die beiden wählen nach dem vorgeschlagenen Schema ABBABAAB. Dann erhält Anne ihre ersten vier Wünsche und Bert erält den Zweit-, Dritt-, Fünft- und Achtwunsch. Das klingt nicht fair.

    Der ganz wesentliche Faktor in dieser Betrachtung (im Gegensatz zum Elfmeterbeispiel oder der Mannschaftsauswahl im Beispiel von Jonas Hoffmann) ist ja, dass die Prioritätenlisten nicht identisch sind. Für identische Listen lässt sich leicht begründen, dass die Thue-Morse-Reihe fair ist, wenn wir etwa jeder Stelle einen Wert zuweisen, acht Punkte für die Erstwahl bis zu einem Punkt für die letzte Wahl:

    A = 8+5+3+2 = 18,
    B = 7+6+4+1 = 18.

    Aber gilt das auch für verschiedenartige Listen? Ich bin mir nicht sicher, halte es zwar für plausibel, aber doch mindestens beweiswürdig! Und es erfordert eine rigorose Definition von „Fairness“. Man könnte etwa verschiedene Auswahlstrategien jeweils über alle Permutationen beider Prioritätenlisten betrachten, nach obigem Schema summieren und ein globales Maximum wählen.

    Das scheint mir aber arg konstruiert. Viel praxisnäher ist doch, dass die Prioritäten sich unterscheiden, aber bekannt sind! Es stellen etwa n Studenten eine Terminwunschliste für ihre Prüfung auf, es gibt n Prüfungstermine. Wie ordnet der Prof die Termine den Prüflingen zu? Per Losentscheid? Da gibt es bessere Varianten, zum Beispiel die sog. „ungarische Methode“ (s. Wikipedia o. ä.).

    Was passiert, wenn man die Prioritäten geheimhält, sieht man an der Anekdote des alten Ehepaars, das sich morgens immer die Brötchen teilte: er, der eigentlich lieber untere Brötchenhälften aß, verzichtete großmütig zugunsten seiner Frau und nahm sich die oberen Hälften. Sie, die stets die oberen Hälften bevorzugte, begnügte sich aus Liebe zu ihrem Mann mit den Unterteilen. Eine Freude, als das nach Jahrzehnten aufflog…

  5.   1iglupedi

    *grins* suprafluid, das mit den Brötchen leuchtet mir heim…äääh…ein ;-)

  6.   Alexander II

    Einen herzlichen Dank für die Initiative zur Popularisierung der Morse-Thue-Folge. Diese Folge hat die Eigenschaft, über lange Zeit die 0 und 1 gleichmäßig und unregelmäßig zu verteilen. So fühlen sich beide Parteien, egal welche Strategie sie verfolgen, fair behandelt. Ja, so kommt ein echtes Mittelmaß heraus, so werden Talente in Projekten verteilt, die Wünsche der Lehrer beim Stundenplan berücksichtigt, Geräte angeschafft, öffentliche Gelder vergeben usw. Aber ist es wirklich fair?

    Nach dem vorgestellten Szenario erhält Anne beim abwechselnden Wählen den 1.,2.,3. und 5. Platz (in der Summe 11 Punkte) und Bert mit dem 2.,4.,6. und 7. Platz (19 Punkte). Anne gewinnt mit 8 Punkten Differenz, wenn wir das Summieren oder einfache Mitteln als Bewertung akzeptieren.

    Bei der Morse-Thue-Folge erhält Anne 13 Punkte und Bert 16. Anne gewinnt mit 3 Punkten Unterschied.

    Ein Problem hierbei ist die Strategielosigkeit bzw. die zufällige Wunschliste. Hätte Bert beispielsweise die Wunschliste 2468531, so käme es beim abwechselnden Wählen bei Anne zu 1357 und bei Bert zu 2468 (Plätze 1234), in der Summe hätte Bert mit 6 Punkten Differenz (10:16) gewonnen!

    Die Morse-Thue-Folge liefert für Anne 1357 und für Bert 2468, derselbe Gewinn für ihn mit 6 Punkten Differenz!

    Lassen wir das mal mit der Strategielosigkeit bzw. zufälligen Permutation beiseite und lassen wir beide mit der Strategie 12345678 wählen, so passiert Folgendes bei abwechselnder Wahl: Anne 1357, Bert 2468. Anne gewinnt mit 4 Punkten Differenz, denn sie hat bei jedem Schritt einen Punkt Vorteil (wie auch Jonas Hoffmann schrieb). Bei der Morse-Thue-Folge ergibt sich für Anne: 1467 und für Bert 2358. Ein Remis!

    Sorry, dass ich mich so spät melde, habe ziemlich viele Tests gemacht und Bonbons probiert.

  7.   1iglupedi

    *zur Mäßigkeit sei stets bereit, nur nicht zur Mittelmäßigkeit*

    Sch…öne Arithmetik.

    Und? Welche sind denn in Ihrer Prioritätenliste höchstrangig belegt, Alexander?

    Nimm 2? *lach*

    Schön, Sie wieder einmal zu lesen…

  8.   Alexander II

    Das mit der Bewertung der Ergebnisse ist echt schwierig. Fairness im Langzeitmittel dank Morse-Thue?

    Also, wenn wir Morse-Thue machen mit und ohne Strategie, dann bekommt B im besten Falle seine 1. und 2. Wahl und im schlechtesten Falle seine 2. und 3. Wahl. Also, wenn ich B wäre, so wäre ich niemals mit dem garantierten 2. und 3. Platz zufrieden! Ich würde mich unfair behandelt fühlen. Ich will natürlich meine 1. Wahl!

    A bekommt im besten Falle seine 1. und 2. Wahl, im schlechtesten Falle seine 1. und 4. Wahl. Aber was nützt A der 1. und der 4. Platz, wenn die beiden sich nicht vertragen, Magendrücken, unbestimmte Konglomerate im Körper erzeugen, sich gegenseitig verbrennen und – A stirbt?

  9.   1iglupedi

    Tja. Es gibt eine natürliche Hierarchie. A kommt nun mal vor B.

    Wie gesagt, ich würde erstmal rausfinden wollen, was A und B denn mögen. Dazu muss ich innerhalb der verfügbaren Bonbon“menge“ erstmal für mich eine Ordnung herstellen. 12345678. Nur durchzählen. Dann frag ich A und B, hey, was ist mit euch, was mögt ihr denn für welche? So kann ich dann beispielsweise auf A: 2381456 kommen und B: 56872143. Dann mach ich ein Achterquadrat und trag die Ergebnisse ein. 2, 5, 1. 3, 6, 2. ff. Also vorgehend nach Rangliste beider! Kinder. So stelle ich die Gemeinsamkeiten fest und entwickel daraus ein Verfahren, wie es so zugehen kann, dass beide sich nicht übervorteilt fühlen, ohne dass ich übermäßig reglementiere. Mehrere Verfahren durchspielen wäre auch noch interessant. Denn nur auf zwei Morsezeichen (Thue-Morse) würd ich mich nicht verlassen wollen. Schon allein deswegen nicht, weil ich es nur schwach ausreichend kenne.

  10.   Alexander II

    @19: Das hört sich gut an. Ich hab das Verfahren nur noch nicht ganz verstanden. Es ist echt wichtig, Mathematik erst mit Formeln aufzuschreiben, wissenschaftlich zu bleiben und damit unanfechtbar, und dann die Sachen auf die Menschheit, Soziologie, weiche Fächer usw. loszulassen.

    2, 5, 1. 3, 6, 2. ff.? Muss es nicht richtig

    2536881742516473

    heissen? Und die bereits erwähnten weglassen und das jeweils nächste nehmen:

    25368714,

    etwa so?

 

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