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Mehr Fairness für die Welt

 

Vor ziemlich genau einem Jahr hatten wir uns an dieser Stelle mit einer Fairness-Formel für das Elfmeterschießen beschäftigt. Sie basierte auf einer seit knapp 100 Jahren bekannten mathematischen Zahlenreihe: der Thue-Morse-Folge. Heute zeige ich Ihnen eine andere Situation, in der sich einfaches Abwechseln als nicht optimal erweist. Um die Situation überschaubar zu halten, beschränken wir uns auf acht Objekte – bunte Bonbons verschiedener Geschmäcker –, die unter zwei Kindern aufgeteilt werden sollen, Anne und Bert.

Anne und Bert erstellen zunächst jeder für sich eine Rangliste der acht Bonbons, je nachdem, wie gern sie ein Bonbon hätten. Wir nummerieren die Bonbons in Annes Rangliste mit 12345678, wobei Bonbon 1 ihr das wichtigste ist und sie es unter allen am liebsten hätte. In dieser Belegung der Bonbons mit Zahlen sei Berts Rangliste 17263485. Annes und auch Berts Toppriorität ist also das Bonbon mit der Nummer 1.

Keiner kennt die Rangliste des anderen. Nur zur Vereinfachung unserer Darstellung haben wir die Bonbons entsprechend Annes Rangliste mit Zahlen benannt. Nehmen wir als Erstes an, Anne und Bert wechseln sich ab beim Wählen je eines Bonbons. Und ferner, dass Anne das Los gewonnen hat: Sie darf als erste ein Bonbon unter allen auswählen.

Keine Lieblingsbonbons für Bert

Da keiner die Rangliste des anderen kennt, gibt es keinen Ansatz für strategisches Auswählen und es ist für beide optimal, immer wenn sie am Zug sind, das auf ihrer Rangliste höchste noch verfügbare Objekt auszuwählen. Anne wählt also Bonbon 1. Bert wählt 7. Dann gibt es noch die Bonbons 2, 3, 4, 5, 6, 8 zu verteilen. Anne wählt 2, Bert wählt 6. Dann bleiben noch die Bonbons 3, 4, 5, 8. Anne nimmt 3, Bert nimmt 4. Es bleiben noch 5 und 8. Davon greift Anne bei 5 zu und Bert bei 8.

Anne hat also das 1., 2., 3. und 5. Bonbon auf ihrer Liste bekommen. Bert auf seiner Rangliste nur das 2., 4., 6. und 7. Bonbon. Im paarweisen Vergleich schneidet Bert also in allen Fällen schlechter ab. Ist das fair? Nein. Auch hier liegt der Grund wieder in der Reihenfolge nach der gewählt wird. Einfaches Abwechseln ist eine Form sich beständig verstärkender Benachteiligung des Zweiten gegenüber des zuerst Wählenden. Das wird ganz deutlich, wenn man zum Beispiel eine Anzahl beständig kleiner werdender Kuchenstücke betrachtet. In jeder Runde kann der, der zuerst wählt, ein größeres Stück einheimsen, als der andere. Und beim ständigen Abwechseln ist das unfairerweise immer ein und dieselbe Person. Aber das muss ja nicht sein.
Greifen wir wieder auf die Thue-Morse-Folge zurück: A, B, B, A, B, A, A, B.

Zuerst wählt Anne, wegen ihres Losglücks, dann wählt Bert zweimal, Anne einmal, Bert einmal, Anne zweimal und abschließend nimmt Bert das letzte Bonbon. Dann bekommt Anne das 1., 3., 4. und 5. Bonbon. Bert bekommt auf seiner Rangliste das 2., 3., 4. und 7. Bonbon. Das ist wesentlich fairer. Also: Es muss endlich Schluss sein mit schlichtem Hin und Her. Es lebe das ausgewogene Abwechseln nach Thue-Morse.

26 Kommentare

  1.   1iglupedi

    Das sieht nur so aus, weil sie zwei Augen haben. Wenn ich durch meine nicht-phototrope Brille schaue, deren Glasform ein Rhombus ist, dann weiss ich, dass es zwei sind. Trage ich das Ding allerdings auf der Nase, dann sehe ich nur eines.

    chasing the White rabbit…and beware of holes.. ;-)

    Bitte, gern geschehen. Es war mir ein Vergnügen.

  2.   1iglupedi

    Ja, so in der Art…deswegen sieht auf dem Computerbildschirm visualisierte Rechentechnik, moderne Algebra ja auch aus wie abstrakte Kunst ;-)

    Patterson/Rutherford…Hochschultaschenbücher, Band 146, 1965

    *lächel*

    Mich interessiert sowas. Auch wenn manches anmutet, als sei es in den Bereich der Esoterik zu verweisen, was ja auch nicht ganz unwahr ist. Und viele Formeln klingen grausam für mich.

    infinity…sieh mal. Alles ist 56 :-)))))…ein Großteil meiner Bücher sind über 100 Jahre alt. Ich verstehe nicht alles, aber ich betrachte es mit großer Ehrfurcht.

    Vor dem Hochaltar fürchte ich mich. Der arme Kerl, den sie da aufs Pluszeichen getickert haben…da lerne ich lieber. (tschuldigung, ich hab nix gegen Religion, es ist nur mein Gefühl, ich möchte niemanden beleidigen)

  3.   Alexander II

    @22 Hört sich an wie „Alice im Wunderland“. Den Maßstab K sieht man nur im Spiegel. Das heißt, man schaut von draußen drauf. 3 Dim. für den Beobachter, 3 für die spiegelbildliche Welt, ergibt 6. Ha! Und keine 1-1-Abbildung. Ich möchte bitte auf der Seite sein, wo es immer doppelt so viele Bonbons gibt.

  4.   Alexander II

    Ok, danke. Die 1 bei 251 kann man einfach weglassen, weil die Liste ja mit den ersten beiden Wünschen anfängt und das in der Konstruktion liegt und die 2 eigentlich auch.
    a(i)… Rangliste von A
    b(i) …Rangliste von B
    struktur=a(1), b(1), [1], a(2), b(2), [2], a(3),…
    Wenn beide dasselbe an der derselben Stelle wollen, könnte man abwechselnd A oder B oder zufällig oder nach Morse-Thue dem/der einen recht geben und dann haben wir zum Beispiel
    struktur ohne teilen=253618…
    Wenn man das periodisch aneinanderlegt zu einem sehr langen Muster – in 2 Dimensionen, wie vorgeschlagen, und jede Zahl von 1 bis 8 einfärbt, bekommt man ein Mosaik, dass ungefähr wie das Glasfenster im Kölner Dom (nach dem Entwurf von Gurski) aussieht. Die nennen das Schöpfung. Toll!

  5.   1iglupedi

    „Spiegelablesung: Man verbindet die Magnetnadel mit einem kleinen Spiegel, Spiegel und Nadel seien gegeneinander vollkommen unbeweglich. In Fig. 4 stelle die Linie S S den Spiegel der Fig. 3 dar und 0 0 ein Fernrohr, durch welches man nach der Mitte des Spiegels sieht. Vor dem Fernrohr ist ein Maßstab K K, dem Spiegel zugekehrt, so befestigt, dass man mit dem Fernrohr das Spiegelbild des Maßstabes erblickt. […] Es möge nun die Magnetnadel, welche den Spiegel trägt, eine kleine Drehung ausführen, so muss der mit der Nadel fest verbundene Spiegel diese Drehung mitmachen. Er gelangt dann aus der Lage S S in die Lage S‘ S‘. Wenn man während dieser Drehung durch das Fernrohr blickt, so wandert die Skala K K im Gesichtsfelde und am Ende der Spiegeldrehung wird man im Fernrohr nicht mehr den Punkt A der Skala, sondern etwa den Punkt B sehen. Es hat sich also die Richtung von der Spiegelmitte nach dem Punkte der Skala, der im Fernrohre erblickt wird, verändert. Dabei hat sich der Spiegel aber nur umdie Hälfte des Winkels A M B gedreht, denn es ist aus den Spiegelgesetzen bekannt, dass bei der Drehung eines Spiegels um einen bestimmten Winkel die gespiegelten Objekte sich um den doppelten Winkel drehen“.

    (Sammlung und Abhandlungen aus dem Gebiete der Instrumentenkunde, Heft XII, Die Instrumente zur Messung der Stärke elektrischer Ströme, von Herrn J. Reiff, 1909, Administration der Fachzeitschrift „Der Mechaniker“, Berlin-Nikolassee, Normannenstraße 2)

    Ist übertragbar, oder? ;-)

  6.   1iglupedi

    Nein. Es geht um die Prioritäten beider Kinder.

    A: 23814567
    B: 56872143

    Das sind die jeweiligen Prioritätenlisten für die Bonbons, die ich mit 12345678 durchnummeriert hab.

    Dann mach ich 2, 5, 1. Das ist der erste Rang. 3, 6, 2. Das ist der 2. Rang. und das kann ich in mein Achterquadrat eintragen, das wie ein Schachbrett aussieht, aber keines ist. Das Bonbon mit der Nr. 8 stimmt in der Priorität beider Kinder auf dem 3. Rang überein. Da könnte es ein Teilungs-Problem geben. Weil ja beide Kinder, wenn auch drittrangig, auf dasselbe „stehen“…

    Ich bin keine Wissenschaftlerin, aber wenn ich mir die Gedanken der Kinder notiere und meine Gedanken dazu, dann kann ich, auch für mich selbst, immer wieder nachvollziehen, wenn ich das nicht mache, hab ichs ja innerhalb von 5 Minuten wieder vergessen ;-)

  7.   Alexander II

    @19: Das hört sich gut an. Ich hab das Verfahren nur noch nicht ganz verstanden. Es ist echt wichtig, Mathematik erst mit Formeln aufzuschreiben, wissenschaftlich zu bleiben und damit unanfechtbar, und dann die Sachen auf die Menschheit, Soziologie, weiche Fächer usw. loszulassen.

    2, 5, 1. 3, 6, 2. ff.? Muss es nicht richtig

    2536881742516473

    heissen? Und die bereits erwähnten weglassen und das jeweils nächste nehmen:

    25368714,

    etwa so?

  8.   1iglupedi

    Tja. Es gibt eine natürliche Hierarchie. A kommt nun mal vor B.

    Wie gesagt, ich würde erstmal rausfinden wollen, was A und B denn mögen. Dazu muss ich innerhalb der verfügbaren Bonbon“menge“ erstmal für mich eine Ordnung herstellen. 12345678. Nur durchzählen. Dann frag ich A und B, hey, was ist mit euch, was mögt ihr denn für welche? So kann ich dann beispielsweise auf A: 2381456 kommen und B: 56872143. Dann mach ich ein Achterquadrat und trag die Ergebnisse ein. 2, 5, 1. 3, 6, 2. ff. Also vorgehend nach Rangliste beider! Kinder. So stelle ich die Gemeinsamkeiten fest und entwickel daraus ein Verfahren, wie es so zugehen kann, dass beide sich nicht übervorteilt fühlen, ohne dass ich übermäßig reglementiere. Mehrere Verfahren durchspielen wäre auch noch interessant. Denn nur auf zwei Morsezeichen (Thue-Morse) würd ich mich nicht verlassen wollen. Schon allein deswegen nicht, weil ich es nur schwach ausreichend kenne.

  9.   Alexander II

    Das mit der Bewertung der Ergebnisse ist echt schwierig. Fairness im Langzeitmittel dank Morse-Thue?

    Also, wenn wir Morse-Thue machen mit und ohne Strategie, dann bekommt B im besten Falle seine 1. und 2. Wahl und im schlechtesten Falle seine 2. und 3. Wahl. Also, wenn ich B wäre, so wäre ich niemals mit dem garantierten 2. und 3. Platz zufrieden! Ich würde mich unfair behandelt fühlen. Ich will natürlich meine 1. Wahl!

    A bekommt im besten Falle seine 1. und 2. Wahl, im schlechtesten Falle seine 1. und 4. Wahl. Aber was nützt A der 1. und der 4. Platz, wenn die beiden sich nicht vertragen, Magendrücken, unbestimmte Konglomerate im Körper erzeugen, sich gegenseitig verbrennen und – A stirbt?

  10.   1iglupedi

    *zur Mäßigkeit sei stets bereit, nur nicht zur Mittelmäßigkeit*

    Sch…öne Arithmetik.

    Und? Welche sind denn in Ihrer Prioritätenliste höchstrangig belegt, Alexander?

    Nimm 2? *lach*

    Schön, Sie wieder einmal zu lesen…

 

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