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Wenn das Schwere eine Erleichterung ist

 

„Schwer ist leicht was“, sagte schon der Komiker Karl Valentin. Verwirrend wird es, wenn das eigentlich Schwerere das letztlich Leichtere ist. Das mutet zwar paradox an, aber bisweilen ist das Leben tatsächlich leichter, wenn man es sich schwerer macht. Für mich ist es zum Beispiel leichter, statt einer Kiste Mineralwasser gleich zwei Kisten zu tragen. Wegen der Balance. Hier ist ein mathematisches Beispiel, bei dem sich das Prinzip der freiwilligen Selbsterschwernis ebenfalls als günstig erweist: Ein Vater sagt zu seinem Sohn: „Wir erhöhen dein Taschengeld, wenn du von drei Partien Schach, die du abwechselnd gegen mich und deine Mutter spielen musst, mindestens zwei hintereinander gewinnst.“

Wie viele günstige Fälle für den Sohn?

Angenommen, der Sohn gewinnt im Schnitt 6 von 10 Partien gegen die Mutter und 5 von 10 Partien gegen den Vater. Er überlegt, ob er in der Reihenfolge Vater – Mutter – Vater oder eher Mutter – Vater – Mutter gegen seine Eltern antreten soll. Sein Bauchgefühl sagt ihm, dass es günstiger ist, zweimal gegen den schwächeren Gegner zu spielen, also gegen seine Mutter. Er entscheidet sich deshalb für die Abfolge Mutter – Vater – Mutter.

Betrachten wir gedanklich 100 dieser Serien. 60-mal wird der Sohn im Schnitt seine erste Partie gegen die Mutter gewinnen und davon 30-mal auch noch gegen den Vater gewinnen. Das sind zunächst schon einmal 30 günstige Fälle für ihn.

In 40 von 100 Spielserien wird er die erste Partie gegen die Mutter verlieren. Von diesen 40 Fällen gewinnt er in 20 Fällen gegen den Vater und dann in 12 von diesen auch noch seine zweite Partie gegen die Mutter. Zusammengenommen verlaufen 30 + 12 = 42 von 100 Spielserien für den Sohn günstig.

Jetzt erschweren wir seine Lage, indem wir ihn zweimal gegen den Vater antreten lassen. Von 100 Serien wird der Sohn im Schnitt in 50 die erste Partie gegen den Vater gewinnen. Und von diesen wird er in 30 Fällen auch die nächste Partie gegen die Mutter für sich entscheiden. Das sind 30 günstige Fälle für den Sohn.

Starke Gegner können uns weiterbringen

In 50 Fällen gewinnt er aber die erste Partie gegen den Vater nicht. Von diesen 50 Fällen gewinnt er in 30 gegen die Mutter und von diesen die Hälfte, also 15, dann auch noch gegen den Vater. Im Ergebnis sind das jetzt 30 + 15 = 45 von 100 Spielserien, in denen das Taschengeld des Sohnes aufgestockt wird.

Wir sehen, dass die Reihenfolge Vater – Mutter – Vater – für den Sohn die Günstigere ist. Ergo: Das Leichte ist nicht immer leichter als das Schwerere. Ein stärkerer Gegner kann besser für uns sein.

Das Ergebnis gilt übrigens ganz allgemein, solange der Sohn größere Chancen hat, gegen die Mutter zu gewinnen als gegen den Vater. In der Rückschau wird das plausibel: Der Sohn muss in jedem Fall die zweite Partie für sich entscheiden. Das fällt ihm leichter, wenn er dabei gegen die Mutter spielt.

11 Kommentare

  1.   Manc00s

    Was der gute alte Freud wohl dazu sagen wuerde?

  2.   teufler

    Das kann nicht passen und geht so nicht – dachte ich als erstes – auch mal schnell mit Papier und Bleistift brachte mich nicht an die Lösung –bis ich nochmal die Aufgabe genau las und siehe da: mindestens zwei hintereinander gewinnst…
    So nun geht es auch – es war mal wieder ein kleines Wort das den Ausschlag gab. Klasse Artikel – hat Spass gemacht :-)

  3.   Gwerke

    Sohnemann muss nicht nur zwingend Spiel 2 gewinnen, er benötigt außerdem nur einen Sieg bei den Eckspielen.

    Wie oft gewinnt in dieser Familie eigentlich der Vater gegen die Mutter? Da stelle mir uns janz dumm unn sagen so:

    1. Spielen Vater gegen Sohn, wird Sohnemann seinem Vater alle Mühe geben, dass er den Valentin Malus spürt.
    2. Da Muddern von Männern beim Schach wie beim Fußball behandelt wird, wird Vaddern dann also eine halbe Kiste Bier leeren.
    3. Solche Spiele KANN Vadder gar nicht gegen Mudder verlieren. Da Mudder das weiß und ihr das Familienglück am Herzen liegt,…

    frage ich (als leidgeprüfter Vadder) einfach mal nach der Bilanz Mudder-Vadder???

  4.   Sascha Noll

    Kommt mir das nur so vor, oder hat der Autor jeweils vergessen, den Fall Sohn gewinnt erste, verliert zweite und gewinnt die dritte Partie einzubeziehen?
    Wenn man das korrekt rechnet, kommt meines Erachtens raus: Vater zuerst: 55;
    Mutter zuerst: 60 günstige Fälle.
    Das kann eigentlich auch gar nicht anders sein…

  5.   hask_l

    Ich finde das Beispiel etwas unglücklich gewählt. Im Szenario ist eindeutig der Vater (V) ein stärkerer (und somit schwererer) Gegner als die Mutter (M). Der Blogger nimmt nun automatisch an, dass die Reihenfolge V-M-V in den Spielpaarungen als schwerer zu sehen ist, siehe auch das „Bauchgefühl“ im ersten Absatz.

    Lässt man mal die numerischen Werte beiseite, kann man auch durch folgende Überlegung zum Schluss gelangen, dass die Folge V-M-V der Folge M-V-M vorzuziehen ist:
    Wie Gwerke im ersten Kommentar richtig bemerkt, muss der Sohn das mittlere Spiel gewinnen. Daraus ergibt sich automatisch V-M-V, wenn er sich dafür den leichteren Gegner, also M, auswählt. Sieht irgendwie nicht nach „vermeintlich schwereres ist leichter“ aus.

    Alternativ kann man sich auch überlegen, dass Spiele 1 und 3 dem Sohn die Möglichkeit einer zweiten Chance geben: Gewinnen muss er sowohl gegen Vater als auch gegen Mutter. Es scheint mir daher besser, eine Reihenfolge auszuwählen, bei der man eine zweite Chance gegen den schwereren Gegner bekommt, sollte die erste Partie verloren gehen. Sind wir schon wieder bei V-M-V als besserer Strategie.

    Mag aber auch sein, dass das vermeintlich Schwierigere auch nur auf den ersten Blick so erscheint, weil gründliches Nachdenken es erst als das Leichtere entlarvt. Und Mathematik kann sicherlich hilfreich für’s gründliche Nachdenken sein. Dafür braucht es aber nicht immer numerische Beispiele.

  6.   Solkar

    Zitat >>>Wir sehen, dass die Reihenfolge Vater – Mutter – Vater – für den Sohn die Günstigere ist.<<>>Ergo „Das Leichte ist nicht immer leichter als das Schwerere<<<
    dazu sind hingegen entbehrlich.

    Der Sohn wird eben "leichter", wenn Sie den Begriff denn unbedingt auf einen mit stochastischen Mitteln zu beurteilenden Prozess anwenden wollen, die notwendigen zwei Siege hintereinander erzielen, wenn er die Reihenfolge V-M-V wählt, als wenn er die "schwerere" Variante M-V-M wählt.

    Dass es hier sowieso statt um "leicht/schwer" um "wahrscheinlicherer/weniger wahrscheinlich" geht, brauche ich Ihnen wohl näher nicht zu erklären.

  7.   1iglupedi

    Wenn ich etwas nicht teile, dann ist es die Leidenschaft für Schach.

    Wo ich allerdings zustimmend nicke: Mir fällt Mathematik auch leichter als Rechnen.

    Ein starker Gegner erfordert hochgradige Resilienz, wobei der Schwellenwert von 5 nicht überschritten werden darf. Gibt ein außergewöhnliches Aktionspotenzial mit immer wieder der gleichen Amplitude…*grins*

    Man sollte niemals sein Gegenüber unterschätzen. Denn alles, was ich denk und tu, trau ich auch jedem andern zu.

    Glück ist nicht das einzige, was sich vervielfacht, indem man es teilt. Womit der eine sich schwer tut, das ist für den anderen leicht, so wie ein Kilo Federn und ein Kilo Steine. Es fällt nicht ins Gewicht, und wer zwei Kisten Mineralwasser trägt, hat es tatsächlich leichter aufgrund des Schwerpunktes. Bei jedem Schritt zählte Teslà bis drei…bei drei Partien 2:1 zu machen…großartige Leistung :-)…wer mit wenig Taschengeld auskommt, wird gut rechnen können.

    Ich habs nicht so mit Volumina. Ich spiele lieber mit Parität:

    Wenn man zwei gegenüberliegende Ecken des Schachbrettquadrates entfernt,
    bleiben 32 Quadrate übrig. Ist es möglich, die 62 verbliebenen Quadrate mit 31 Dominosteinen zu belegen? (Dominostein = Rechteck, das genau 2 Schachbrettquadrate flächenmäßig belegt)

    ;-)

  8.   1iglupedi

    32 schwarze und 30 weiße. *edit*


  9. Kommentar zu Kommentar Nummer 5:

    sehr schoen erklaert.

    Kommentar zum Artikel:

    Z.B. in der Formulierung „Jetzt erschweren wir seine Lage, indem wir ihn zweimal gegen den Vater antreten lassen.“ versuchen Sie, rhetorisch zu manipulieren: der Sachverhalt wird bewusst verzerrt dargestellt.

    Das ist letztlich intellektuell unredlich.

    Eines Mathematikblogs nicht wuerdig.

  10.   Silius

    Sehr interessante Konstruktion:

    Ich würde es so darlegen: Die zweite Partie geht doppelt in die Statistik ein, während die erste und die dritte nur einfach eingehen können. Dies kommt durch die Bedingung des „Hintereinander-Gewinnens“ von zwei Spielen zustande.

 

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