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Verknotete Lichterkette? Da hilft Mathematik.

 

In der Adventszeit erstrahlt so manches Haus festlich. Doch für die schicke Weihnachtsbeleuchtung müssen alljährlich widerspenstige Lichterketten gezähmt werden. Egal wie sorgsam sie im Jahr zuvor verstaut wurden: Wer sie aus den Kisten hervorholt, findet sie heillos verknotet vor.

Wie gut, dass Sie in diesem Jahr das Mathe-Blog haben. Denn Knoten sind ein Fall für die Mathematik.

Es gibt sogar eine ganz ausgefeilte mathematische Knotentheorie. Sie hat enorm interessante Eigenschaften vom Krawatten- bis zum Seemannsknoten zu Tage gefördert.

Zum Beispiel, dass ich jede geschlossene und entwirrbare Lichterkette – deren Schlaufen also nicht ineinander verschlungen sind – mit (eventuell mehrfacher Anwendung von) nur drei verschiedenen Manövern, den Reidemeister-Bewegungen, entwirren kann. Das sind die folgenden:

  • (I) Man kann eine Schlaufe entfernen oder hinzufügen.
  • (II) Man kann eine Kreuzung entfernen oder hinzufügen.
  • (III) Man kann einen Strang des Knotens von einer Seite einer Kreuzung auf die andere legen.

Ins Schematische übersetzt sieht das dann so aus:

Knoten3

Abbildung : Reidemeister-Bewegungen

Das ist im Wesentlichen der Inhalt des Reidemeister-Theorems. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Kurt Reidemeister (1893-1971), der es 1926 bewies. 1933 wurde er nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten aus seinem Professorenamt entlassen.

Wenn also ein Knoten entknotet werden kann, dann kann man das mit nur drei Arten von Manövern tun.
Das Theorem bietet sich doch geradezu an für eine kleine Vorweihnachtsknobelei:

Ist die folgende Lichterkette – aus einer wissenschaftlichen Arbeit von Louis Kauffman und Sofia Lambropoulou – heillos verknotet, oder kann man sie zu einem geschlossenen Schnurring entwirren?

Knoten2
Hier ist die Antwort:
Man kann die Kette tatsächlich aufdröseln. Die folgende Abbildung zeigt die einzelnen Reidemeister-Manöver:

 

Knoten1

Wenn Sie es nicht glauben, können Sie den Knoten auch mit einem längeren Faden auf einem Tisch selbst auslegen, ihn dann aufnehmen und sehen wie er zu einem Ring wird.

Was sich mit der Knotentheorie noch anfangen lässt? Zum Beispiel das Universum erklären mit der String-Theorie, nach der unsere Welt nicht aus winzigen kugelförmigen Elementarteilchen in drei Dimensionen besteht, sondern aus noch winzigeren, teils geschlossenen, teils verknoteten Energie-Fäden (Strings) in zehn Dimensionen.

Die String-Theorie ist ein Produkt der großen Suche nach der Weltformel, der vereinheitlichten Theorie aller Elementarteilchen und aller ihrer Wechselwirkungen. Die Knotentheorie hilft, die komplexen Eigenschaften der Strings zu verstehen.

Nach Ansicht des Nobelpreisträgers David Gross von der University of California, Santa Barbara, an der ich das Glück hatte, mich in den letzten beiden Jahren zehn Monate zu Forschungszwecken aufzuhalten, ist die String-Theorie entweder selbst die Weltformel oder zumindest ein sehr wichtiger Schritt dorthin.

Zugabe: Sollte obiges Beispiel zu schwer sein, können Sie auch über folgendes Gewirr nachdenken, das praktisch mit bloßem Auge entwirrt werden kann.

Knoten4

13 Kommentare

  1.   effdee

    … und nicht vergessen: zusätzlich zu den Reidemeister-Schritten gibt es immer noch die alternative Alexander-Methode, aber die sollte man nicht bei gordischen, stromdurchflossenen Leitern anwenden.

    Frohe Ogdern übrings!

  2.   effdee

    Graphentheorie also.

    Die Sache mit Ecken und Kanten – oderso: nicht mein Ding.

    Der Beweis der Eigenschaften der E8-Lie-Gruppe hat mich damals schon genervt: Grafentee O’Rie!
    Aber höchst interessant ist das Thema nun mal, aber nicht die Mathematik daran (weh nichstänns füa mich).

    Ob ich ‚mal Zeit und Nerven finde, mich durch jenen Beweis zu quälen?

    Und dann gebietet es des Dichters Ährlichkeit darauf hinzuweisen, dass die Stringtheorie (welcher Provenienz auch immer) ihren Vorgänger hat in der Kaluza-Klein-Theorie aus den 20er Jahren, die damals fachlich (wohl) nicht bestätigt werden konnte.


  3. Ich gebe zu, wenn die Lichterkette derart verknotet ist, dann rechne ich die Lebenszeit, die in eine Entwirrung zu investieren wäre, gegen die Kosten der Neuanschaffung und fahre zum nächsten Discounter und kaufe eine neue.

    Das macht mich wahrscheinlich zu einem schlechten Menschen und wenn mich jemand Umweltsau schimpfen will, dann tut er recht daran. Aber Mathematik war noch nie so meines.

  4.   1iglupedi

    effdee,

    *yep pi depp i do!*

    *get string from object* *giggle*

    wie macht man aus 2 Halbkugeln 1? ;-)

    wenn die Methodik bei stromdurchflossenen Leitern angewendet wird…ohaueha. In irgendsoner Uni wird mit Spinnenseide experimentiert, um den bispielsweise bei Unfällen durchtrennten Nervenzellen zu zeigen, wo es langgeht, damit sich dies oder das wieder synaptisch vernetzt. Das implantierte Material wird nämlich vom Körper nicht als fremd erkannt :-))))

    Jaja, wenn die Steuerzentrale nicht weiss, was die Peripherie tut…die erste Fehlinformation verursacht dann die erste Kettenreaktion…

    „oder kann man sie zu einem geschlossenen Schnurring entwirren?“

    für mich sieht dieser Knoten aus wie einer dieser Schaltkreise im peripheren Nervensystem. Agonist, Antagonist, aber die Dinger mit den Ranvierschen Schnürringen sind doch technisch viel weiter entwickelt ;-)

    —-sakrarhinozerospups++++

    Und das mit dem Lie da, da hab ich als Kind mit zahnradähnlichen Kreisen gespielt, in denen Löcher waren, mit Zahlen bezeichnet…spiralförmig angeordnet. Da kann man sich eins aussuchen und dann wunderschöne Muster produzieren auf Papier…das Spiel nennt sich „Spirograph“…


  5. Gegen verknotete Lichterketten hilft keine Mathematik (nach Heinrich Heine die „Wissenschaft von dem, was sich von selbst versteht“), sondern nur Sorgfalt bim Ver- und Entpacken.


  6. Wer sie aus den Kisten hervorholt, findet sie heillos verknotet vor… ja, stimmt. Und da werden auch Mathematiker nichts daran ändern… NUR besonders ordentliche Menschen mit viel Zeit und mit sehr viiiel Geduld bekommen dieses *Problem* in den Griff. Aufdröseln…. Ergo: ich habe keine Chance!

    Ein weiteres Phänomen: wie können die Lämpchen, die letztes Jahr einwandfrei freundlich hell bunt und schön gebrannt haben in der (selbstverständlich sorgsam verpackten) Kiste kaputt gehen… ;-)


  7. […] Did candlelight demonstration interlock? There mathematics helps. […]

  8.   effdee

    Ich mag den Heine, aber da hatte er wohl einen schlechten Tag (oder: früher war alles besser, woll?).

    Dass man konkrete Auswirkungen von Distributionen mitunter exemplarisch verdeutlichen kann, sodass es jeder nachvollziehen kann (Beispiel: Lichtschalter), dascha schön – aber wem sag denn der Kalkül von Mikusinski etwas?!!
    WAS versteht sich DA denn von selbst?!

    Matte-Tick is genau so wie ichs mir vorstelle – wer mit Fachsimpeleien kommt is eh ein Spinner, gelle?

  9.   1iglupedi

    0, Karl Kühl von minus Kinski….DAS kennich nich. Kannste mich das ärkleern? Oda mussichdas vorstellen, äääh, repräservatief selbst erarbeiten? Haueha, was daaa wohl rauskommt…nichts Gescheites *kicher*

    MatteTickas…-1 anne Wurzel…wattfüan simples Fach ;-) Licht an, Licht aus :-)))

    [fuck dirac]

  10.   effdee

    Bittaschään:
    „Mikusiński ist bekannt für die Entwicklung eines nach ihm benannten Kalküls der Differential- und Integraloperatoren, der teilweise mächtiger ist als der Distributionenkalkül von Laurent Schwartz oder die in der Theorie der Laplace-Transformation erfassbaren Operatoren.
    Er benutzt den Faltungsoperator der Fouriertransformation als Produkt.
    Er schrieb darüber 1953 das Buch Operatorenrechnung. Seine Arbeit war ein weiterer Beitrag dazu, dem Operatorkalkül von Oliver Heaviside aus dem 19. Jahrhunderten eine mathematisch strenge Grundlage zu geben.“

    So jedenfalls seggt Wiki aus Pedia.

 

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