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Quadratur des Kreises

 

Die Quadratur des Kreises ist ein Problem aus der Geometrie, das Jahrtausende alt ist. Die Aufgabe besteht darin, zu einem Kreis ein Quadrat mit exakt demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Verlangt man, dass hierfür nur Zirkel und Lineal verwendet werden, ist diese Aufgabe nicht lösbar. Das hat im Jahr 1882 der Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen.

Wegen dieser Unmöglichkeit ist der Begriff Quadratur des Kreises in vielen Kulturen der Welt zum Sinnbild einer nicht ausführbaren Aufgabe geworden. Überschriften wie „Die Quadratur des Kreises mit der Schweiz“ oder „Kerry versucht sich in der Quadratur des Kreises“ sind nur einige der Überschriften aus der Presse der vergangenen Tage und Wochen.

Dabei ist die Quadratur des Kreises nicht generell unmöglich. Sehen Sie selbst:

 

 

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Abbildung: Vlad Sasu

 

Der Kreis hat eine halbe Drehung ausgeführt. Die blau gezeichneten Flächen von Kreis und Quadrat sind jeweils gleich Pi. Das rechtwinklige rote Dreieck spielt hierbei eine wichtige Rolle. Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich leicht prüfen, dass die zur Strecke von M nach B senkrechte Dreiecksseite eine Länge von genau der Wurzel aus Pi hat. Damit ist der Kreis erfolgreich in ein Quadrat gleicher Fläche umgewandelt.

Als Ergebnis können wir festhalten: Mit Zirkel und Lineal geht die Quadratur nicht. Aber wenn ich zusätzlich eine Drehbank hinzunehmen darf, um den Kreis halb abzurollen, dann ist es möglich.

9 Kommentare

  1.   srolle

    Mir gefällt die generell die Idee des Blogs und freue mich auch auf die weiteren Artikel. Vor allem in der Hoffnung, dass neben den „Standardproblemen“ (Geburtstagsparadoxon, Ziegenproblem usw.), die man bereits aus der Schule kennt, noch andere dazukommen.

    Der mathematisch interessierte Leser wird sich aber hier die Frage stellen, wie man die Strecken MB und MD ermittelt. Oder ist es nur meine Wenigkeit, die sich diese Frage stellt?

  2.   Ralf Bülow

    Es gibt dann noch eine exakte aber knifflige Quadratur des Kreises von Miklós Laczkovich, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Mikl%C3%B3s_Laczkovich

  3.   rad

    Die Streckenlängen MB und MD ergeben sich folgendermaßen: M ist der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Durchmesser Pi+1 bzw. dem Radius r=(Pi+1)/2.
    Da D auf diesem Kreis liegt ergibt sich die Streckenlänge MD=r=(Pi+1)/2.
    B liegt nach Konstruktion auf der Strecke MC. Es ergibt sich mit den Größen aus der Zeichnung: MB=MC-BC=(Pi+1)/2-1=(Pi-1)/2.

  4.   Christian Hesse

    @ srolle Vielen Dank für Ihren netten Kommentar. Ich werde versuchen, öfters auch außergewöhnliche Fragestellungen zu bringen, bei denen man die Mathematik einsetzen kann. Wie etwa den nächsten Beitrag am kommenden Donnerstag.

  5.   Eric

    Lindemann hat nicht bewiesen, dass die Quadratur des Kreises unmöglich ist. Er hat bewiesen, dass pi transzendent ist d.h. nicht Lösung einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein kann. Daraus folgt dann die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises.

  6.   Martin

    Naja, Eric, wenn er etwas bewiesen hat, aus dem die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises folgt, dass hat er – unter anderem – auch die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises bewiesen.

  7.   Peter

    Christian, die von dir gezeigte (eine eigene Arbeit?) exakte Lösung, ist nicht weit weg von meiner Näherungslösung, siehe: http://www.geogebratube.org/student/m45108
    Auf dem ersten Blick erscheint die Konstruktion kompliziert, jedoch in der Konstruktion mit dem Bruch 355/113, auf http://www.udo-brechtel.de/index.php?s=quadratur, ist das Grundprinzip gut nachvollziehbar dargestellt.
    Es gibt schon Konstruktionen, die die Kreiszahl Pi (π) auf 31 bzw. 100 (!) Nachkommastellen genau zeigen, siehe u. a.: http://www.geogebratube.org/student/m92336 .

  8.   Peter

    Christian, ich habe bemerkt, dass ich Sie mit „du“ angesprochen habe. Pardon, ich wollte Sie damit nicht brüskieren!
    Die Frage „(eine eigene Arbeit?)“ stellt sich m. E. manchem Leser, da die Eintragung „Abbildung: Vlad Sasu“ nicht zwangsläufig auf den Erfinder dieser beispielhaften Idee hinweist. Nun, manchmal wäre es vorteilhaft, könnten nachher entdeckte Fehler, innerhalb eines vorgegeben Zeitrahmens, vom Kommentator korrigiert werden, wie z. B. auch der Grammatikfehler
    „Auf – d e m – ersten Blick erscheint …“ zeigt.
    Gruß Peter


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