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Elfmeterschießen ist unfair!

 

Es ist wieder die Zeit des spannenden Champions League Fußballs. Am Dienstag und Mittwoch dieser Woche gab es großartige Spiele zu sehen; während der FC Bayern ins Halbfinale einzieht, scheiterte der BVB knapp. Auch der heutige Beitrag im Mathe-Blog wird sich mit dem Thema Fußball befassen. Speziell geht es darum, wie Spiele, die entschieden werden müssen, entschieden werden sollen, nachdem selbst eine Verlängerung nicht ausgereicht hat. Also ums Elfmeterschießen.

Die FIFA-Regeln fürs Elfmeterschießen besagen, dass der Münzwurf bestimmt, welcher Mannschaftskapitän entscheiden darf, ob seine Mannschaft zuerst schießt oder die andere. Dann wird abwechselnd geschossen, insgesamt je fünfmal. Ist immer noch nichts entschieden, wird in derselben Abfolge weitergemacht, bis ein Team nach beiderseits gleich vielen Elfmetern ein Tor mehr hat.

Ist das fair? Nein! Das liegt einfach an der Reihenfolge. Die Statistik zeigt, dass in 60 Prozent aller Fälle die Mannschaft gewinnt, die den ersten Elfmeter schießt. Der Vorteil der zuerst schießenden Mannschaft X gegenüber der Mannschaft Y besteht in jedem der fünf Paare von Schützen. Bei der FIFA-Schussreihenfolge

XY XY XY XY XY

schießt in jedem Paar zuerst Team X, trifft typischerweise (im statistischen Mittel in 75 Prozent der Fälle) und Team Y steht dann unter Druck auszugleichen. Dieser Druck und seine psychologische Auswirkung reduziert die Chancen des Y-Schützen im Schnitt um 4 Prozent je Runde, was sich über fünf Runden zu dem erwähnten Nachteil von 20 Prozent aufschaukelt: 60 : 40. Die Unfairness verstärkt sich also mit jedem Paar geschossener Elfmeter.

Dabei ist leicht Abhilfe möglich.

Nach dem ersten Paar geschossener Elfmeter XY muss aus Fairnessgründen die Reifenfolge geändert werden: Es sollten also die ersten vier Elfmeter als XY YX ausgeführt werden.

Wie sollte es dann weitergehen?

Man könnte denken, es sei am fairsten, das nächste Paar von Schützen wieder in der Reihung XY antreten zu lassen. Das aber ist zu kurz gedacht.

Nicht einfach nur abwechseln oder beim Abwechseln abwechseln lautet die Devise. Sondern vielmehr beim Abwechseln des Abwechselns stets wieder Abzuwechseln: das ist die Zauberformel.

Falls also die obige Abfolge XY YX noch einen statistischen Vorteil für ein Team enthalten sollte, dann wird dieser dadurch am Besten neutralisiert, wenn die ganze bisherige Abfolge nun abermals, aber invers, ausgefügt wird: X wird darin durch Y ersetzt und Y durch X. So gelangt man zu

XY YX YX XY

Mit diesen Überlegungen sind wir auf acht zu schießende Elfmeter gekommen. Etwas zu wenig. Also lassen wir abermals die durch Buchstabenumkehr invertierte gesamte bisherige Serie folgen. Insgesamt haben wir dann

XY YX YX XY YX XY XY YX

Prüfen wir, ob entweder Team X oder Team Y durch diese Reihenfolge Vorteile erhält.

Das ist nicht der Fall: Nicht nur ist in jedem der insgesamt acht Paare jedes Team viermal zuerst am Zug, auch wird bei diesem Zuerst-am-Zug-sein nicht einfach (und damit unfair) abgewechselt, sondern beim Abwechseln stets abgewechselt.

Natürlich könnte man die obige Folge bei zehn Elfmetern abbrechen, doch die volle Fairness wird besser mit acht Elfmetern je Team erreicht.

Das ist aus mathematischer Sicht die Fairness-Folge fürs Elfmeterschießen: Acht Elfmeter von jedem Team nach obigem Rezept. Sie wurde auch schon von dem spanischen Wirtschaftswissenschaftler Ignacio Palacios-Huerta angesprochen.

Zu kompliziert? Ich denke, man kann sich leicht daran gewöhnen.

Mathematiker erkennen übrigens diese Folge, die sich mit dem genannten Prinzip ihrer Erzeugung leicht unendlich fortsetzen lässt, als die Thue-Morse-Folge. Sie ist nach den Mathematikern Axel Thue (1863-1922) und Marston Morse (1892-1977) benannt. Neben der Fibonacci-Folge ist sie eine der berühmtesten Folgen in der gesamten Mathematik. Sie ist deshalb so berühmt, weil sie an den unterschiedlichsten Stellen in den unterschiedlichsten Disziplinen bei den unterschiedlichsten Anwendungen – von Algebra bis Zahlentheorie, von Chaos über Musik bis zum Schach – immer wieder auftaucht.

Das liegt an ihren höchst bemerkenswerten Eigenschaften. Zum Beispiel ist sie selbstähnlich: Streicht man mit dem ersten Y beginnend in ihr jeden zweiten Buchstaben, so ist das, was übrig bleibt, exakt wieder die Thue-Morse-Folge selbst. Schon daraus wird ihre Eigenschaft des ultimativen Ausbalancierens deutlich.

Wir werden uns in Bälde mit einigen der faszinierenden Eigenschaften und Anwendungen dieser Folge beschäftigen.

32 Kommentare


  1. „…schießt in jedem Paar zuerst Team X, trifft typischerweise (im statistischen Mittel in 75 Prozent der Fälle) und Team Y steht dann unter Druck auszugleichen.“

    Müsste man nicht auch berücksichtigen was passiert, wenn der erste Schütze mit 25% Wahrscheinlichkeit nicht triff und somit weniger Druck herrscht? Dies gilt doch auch immer für die dann folgenden…

  2.   Jonathan

    „Dieser Druck und seine psychologische Auswirkung reduziert die Chancen des Y-Schützen im Schnitt um 4 Prozent je Runde, was sich über fünf Runden zu dem erwähnten Nachteil von 20 Prozent aufschaukelt.“ Wenn die Schlussfolgerung korrekt ist, reduziert sich die Chance des Schützen um 4 ProzentPUNKTE und nicht um 4 % jede Runde.

  3.   Peter Pan

    @Felix Schulte

    das ist totaler blödsinn.

    Ecken sagen „fast“ gar nichts über das Spiel aus. Und erst recht nicht, ob eine Mannschaft überlegener oder offensiver gespielt hat.

    Elfmeterschiessen ist da völlig in Ordnung.


  4. Es gibt eine sehr einfache Möglichkeit, das Problem zu lösen. Das Torschiessen ist ein blosser Showeffekt und hat wenig mit dem eigentlichen Fussballspiel zu tun.

    Mein Vorschlag: Vor dem Spiel wird eine Münze geworfen. Der Sieger des Münzwurfs gewinnt im Fall eines Unentschiedens das Spiel.

    Das würde auch helfen, das Spiel spannender zu gestalten – heute können beide Mannschaften hoffen, das Torschiessen noch für sich zu entscheiden. Und spielen während der Verlängerung nur noch halbherzig.

    Der Münzwurf vor dem Spiel zwingt beide Mannschaften, sich am Ende noch richtig ins Zeug zu legen.

    Und wenn man schon dabei ist, könnte man unentschiedene Spiele auch gleich verbieten. ;)


  5. Tie-Break?
    Und wenn man es wie beim Tie-Break im Tennis macht? Einer fängt an, mit EINEM Versuch, der andere folgt mit ZWEI Versuchen. Ab dann immer im Wechsel zwei Versuche. Beim Tennis geht das ja, bis einer sieben Punkte hat und dabei mindestens zwei Punkte Vorsprung. Ab dann immer im gleichen Modus weiter. Irgendwann ist es im Grunde egal, wer anfing, weil eben – vorausgesetzt alle treffen – jeder bei seinem Turn immer zuerst aufholen muss und dann vorlegen kann. Bis zu sieben Punkten wäre das dann X YY XX YY XX YY XX Y
    OK, es fällt auf, dass das dem im Artikel erwähnten Muster X YY X entspricht, was sich wiederholt, aber im Tennis habe ich nicht den Eindruck, dass es einen Vorteil gibt, wenn man anfängt. Wenn man es nun auf sechs Runden oder Schützen anlegen würde, wäre das X YY XX YY XX YY X – dabei wäre X zu Beginn im Vorteil, aber – wieder vorausgesetzt alle treffen – am Ende hätte Y vorgelegt und X wäre unter Druck, nachzuziehen…
    Sind Mathe-Profis oder Tennis-Statistiker hier, die das bestätigen oder widerlegen können?


  6. Elfmeterschießen ist nicht unfair, sondern Schicksal – zumindest aus Sicht der englischen Nationalmannschaft.

  7.   Tim

    Im Basketball wird schon so verfahren: Dort gibt es den Sprungball zu Beginn des Spiels, und der „Verlierer“ dieses Duells erhält den Ball zu Beginn des 2. und 3. Viertels, der ursprüngliche „Gewinner“ dann wieder zum letzten, 4. Viertel.

  8.   Christian Hesse

    @ leonerd

    Ich danke Ihnen auch. Und hoffe, dass Sie auch weiterhin Freude an den Beiträgen haben werden.

  9.   Christian Hesse

    @ Le petit prince

    Auch Ihnen zunächst vielen Dank für den engagierten Kommentar.
    Zu Ihren Punkten
    1.) Das stimmt.
    2.) Die im Beitrag angegebenen Werte (etwa, dass das zuerst schießende Team eine 60:40 Siegchance hat, oder dass der als zweiter in einem Paar schießende Spieler, d.h der von Team Y, eine im Schnitt – über alle Paare – um 4 Prozentpunkte geringere Trefferchance hat, sind statistische Mittelwerte augrund einer sehr großen Zahl analysierter Elfmeter. Das bedeutet dann, dass verschiedene Verläufe unterschiedlich häufig eintreten. Der von Ihnen beschriebene Fall, dass Team Y nach dem dritten Paar mit 3:1 führt und dann natürlich der Schütze von X den größeren Druck hat, kommt zum Beispiel seltener vor, als dass es umgekehrt ist. In der Mehrzahl der Fälle verläuft ein Elfmeterschießen so, dass die Spieler von Team Y mehr Druck vom aktuellen Spielstand haben.
    3.) Schade, dass Sie das so sehen bzw., dass Sie das so empfinden.

 

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