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Pi kennt alles, außer sich selbst

 

Pi fasziniert mich. Als Wahrscheinlichkeitstheoretiker packt mich besonders, dass die Kreiszahl sich statistisch genauso verhält, als wären ihre Dezimalen von einem 10-seitigen Würfel mit den Seiten 0 bis 9 ausgewürfelt worden. Die Indizien dafür sind beachtlich, wenn diese Tatsache bisher auch noch nicht exakt bewiesen werden konnte.

Es kommt dann jeder Ziffernblock, ganz gleich welcher Länge, irgendwo in Pi vor. Mit anderen Worten: Pi kennt Ihren Geburtstag, Ihre Schuhgröße, Ihren Cholesterinspiegel. Pi weiß alles über Sie. Und auch über mich. Pi hat meine Telefonnummer. Und springt man zur 35.658.179-ten Dezimalstelle, so beginnt dort mein achtstelliges Geburtsdatum.

Schreibt man Buchstabenfolgen als Zahlenfolgen (a = 01, b = 02 etc.), so sind auch alle Texte aller Zeiten in Pi enthalten, sowie auch jede endliche Zeichenkette wie zum Beispiel PiLovesU oder die Werke Shakespeares. Pi ist dann ein Beispiel für das Infinite-Monkey-Theorem. Es besagt, dass ein ewig auf einer Schreibmaschine herumtippender Affe irgendwann alle Werke von Shakespeare getippt haben wird. Oder in einer martialischeren Variante: Dass ein unendlich lange auf unendlich viele Häuserfronten ballernder Freischärler irgendwann alle Bände von Karl May in Braille erzeugt hat.

Pi weiß alles und kennt alles. Mit einer Ausnahme

Mehr noch, da das Universum nur endlich groß ist, findet sich irgendwo in Pi eine Darstellung des gesamten Universums. Alles Vergangene und Gegenwärtige, übersetzt in eine Abfolge von Ziffern, ist in Pi enthalten. Pi weiß alles und kennt alles. Mit einer Ausnahme. Das ist Pi selbst. Die Ziffernfolge von Pi ist selbst nicht in Pi enthalten. Kann man das beweisen? Ja!

Bekanntlich besteht Pi  aus einer unendlichen, nicht abbrechenden Ziffernfolge. Es wäre also theoretisch durchaus möglich, dass für irgendeine natürliche Zahl m die Ziffernfolge von Pi nach der m–ten Ziffer exakt dieselbe ist wie die ganz vorne beginnende Ziffernfolge. Dass also für alle natürlichen Zahlen k die k-te Ziffer von Pi gleich der (m + k)-ten Ziffer ist. Oder anders gesagt: Die ersten m Ziffern von Pi sind einschließlich Reihenfolge genau dieselben wie die zweiten m Ziffern. Und diese sind dieselben wie die dritten m Ziffern. Und so weiter, bis ins Unendliche.

Schreibt man z(n) für die ersten n Ziffern von Pi, also etwa z(9) = 3,14159265, dann wäre Pi = z(m) + Pi x 10 hoch –m. Stellt man dies um, kommt man zu Pi = z(m)/(1 – 10 hoch –m) = z(m) x 10 hoch m/ (10 hoch m – 1). Pi wäre also als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar und demnach eine rationale Zahl. Das aber ist Pi nicht. Somit führt unsere Ausgangsannahme, durch logisch korrektes Schließen, zu einer falschen Schlussfolgerung. Im Umkehrschluss muss deshalb die Ausgangsannahme selbst falsch sein. Pi enthält sich also nicht selbst.

Pi hat Denker und Dichter schon seit Jahrtausenden fasziniert. Wie etwa die kürzlich verstorbene polnische Lyrikerin Wislawa Szymborska, die 1996 den Nobelpreis für Literatur erhielt. Unter ihren Werken findet sich auch ein Pi-Gedicht. Es beginnt mit der Zeile: Bewundernswert ist die Zahl Pi. Recht hat Sie.

117 Kommentare

  1.   LexiK

    Nennt mich banausisch, aber mich interessiert bei so etwas eher die praktische Anwendung. Da stellen sich dann Fragen wie „Wie findet man diese Information in dem Zeichenstrang?“ oder „Lassen sich Informationen erlangen, welche vorher noch nicht bekannt sind?“
    Ich nehme an, dass beides nicht geht. Genauso gut könnte ich das weiße Rauschen zwischen zwei Radiokanälen lesen und warten bis etwas kommt, was mir brauchbar vorkommt. Etwas in der Art wie ein nie geschriebenes und nie gewünschtes Crossover von Star Wars und Hamlet, welches nach der Einleitung aufhört und in ein Backrezept für verbrannte Möhrenkekse übergeht.

    Das ist purer Diskordianismus.
    Heil Eris ;)

  2.   Stefan H.

    Ich muss widersprechen, ihr Artikel ist meines Wissens nach falsch. Die Normalität von pi, das heißt, dass jede erdenkliche Ziffernfolge in den Nachkommastellen von pi vorkommt, wurde bis jetzt noch nicht bewiesen.
    Siehe zB hier:
    http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html
    oder auch sehr interessant hier:
    http://mathoverflow.net/questions/51853/what-is-the-state-of-our-ignorance-about-the-normality-of-pi

  3.   Mandalor

    Mißverständlich
    Der Titel ist mißverständlich. Pi ist sehr wohl in Pi enthalten nur wiederholen sich die Zahlenfolgen der Dezimalstellen nicht das ist nach meinem Verständnis etwas anderes.

    MfG


  4. Die gefühlte 2.429ste Abhandlung über pi…

    …trotzdem immer wieder gut ;-)

  5.   Konos

    Ob das Universum unendlich oder nur endlich groß ist, ist meiner Ansicht nach noch nicht abschliessend geklärt. Vorsichtiger als „…findet sich irgendwo in Pi eine Darstellung des gesamten Universums“ wäre dann „… findet sich irgendwo in Pi eine Darstellung aller endlichen Dinge im Universum“.

  6.   Pi

    Pi ist also eine Zahl die alle Wirklichkeiten abbildet und deshalb mindestens einmal Recht hat, dafür allerdings unendlich oft falsch liegt. Nicht sehr Effizient aber immerhin.

  7.   PW

    Ich schließe mich Kommentar 13 an: Je nach Definition der natürlichen Zahlen (ob mit 0 oder ohne) ist Pi in sich selbst enthalten, nämlich ab der 0. Stelle. Insofern „kennt“ Pi eben doch sich selbst.

  8.   U

    Vielen Dank für den Artikel. Endlich gibt’s wieder was mit Mathematik :) Mir kamen beim Lesen 3 Fragen bzw. Überlegungen. Was sagt denn die Community dazu?

    (1) Sie sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Zahlenfolge in Pi vorkommt ungleich 0 ist. Wieso folgt daraus, dass diese in Pi auch vorkommt? Kann man zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieser Folge gleich 1 ist?

    (2) Ist Pi als Folge darstellbar?
    Falls ja enthält Pi zwar alle endlich langen Zahlenkombinationen, aber nicht alle (unendlich langen) Zahlenkombinationen?
    Diese Frage sollte äquivalent zu der Frage sein, ob Q abzählbar ist uns mit Cantors Diagonalargument zu lösen sein, wenn ich keinen Denkfehler gemacht habe.
    Dann wäre es aber möglich, dass Pi nicht alle Zustände des Universums zu allen Zeiten enthält.
    Angenommen die Zeit ist kontinuierlich, und zu jedem beliebigen Zeitpunkt ist das Universum in einem leicht veränderten Zustand. Dann ist die Menge der Zustände überabzählbar. Wenn nun die Menge der in Pi enthaltenen Folgen aber abzählbar ist, folgt damit, dass nicht alle Zustände in Pi enthalten seien können

    (3) Ihre Aussage Pi enthalte alle Zahlen außer Pi ist glaube ich falsch.
    Angenommen ihre Aussage sei wahr.
    Mit ihrem Beweis würde man nun folgern, dass jede transzendente Zahl alle Zahlen außer sich selbst enthält. Also enthält e alle Zahlen außer e und damit Pi. Da nach Ihrer Aussage Pi nur sich selbst nicht enthält, enthält Pi e. E enthält aber Pi. Also enthält auch Pi Pi. Widerspruch.

    Vielen Dank schon mal für eure Antworten :) Ich gebe keine Gewähr, dass das, was ich sage auch stimmt. Es sind nur ein paar erste Gedanken!

  9.   alexk

    Zahlen in denen „jeder Ziffernblock, ganz gleich welcher Länge, irgendwo“ vorkommt nennt man normale Zahlen. Dabei geht es natürlich nur un endliche Ziffernblöcke.

    1 – es ist, wie Sie selbst schreiben, noch nicht bewiesen dass Pi eine normale Zahl in Basis 10 ist

    3 – „da das Universum nur endlich groß ist“ : dafür haben wir auch keinen Beweis

    4 – „Die Ziffernfolge von Pi ist selbst nicht in Pi enthalten“ : dies gilt für jede irrationale Zahl


  10. Man sollte in dem Post vielleicht mal den Unterschied zwischen „alle endlichen Sequenzen enthalten“ und „alle unendlichen Sequenzen enthalten“ ansprechen.

    Natürlich gibt es JEDE MENGE (nämlich überabzählbar viele) unendliche Sequenzen, die in Pi nicht enthalten sind. Pi ist NICHT „die einzige Ausnahme“.

    Selbst wenn Pi wirklich normal ist (unbewiesen), dann bedeutet das nur, dass es alle ENDLICHEN Folgen enthält.

 

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