In den bisherigen Beiträgen zum Schnellrechnen haben wir uns mit verschiedenen Arten des Multiplizierens beschäftigt. Heute gilt unser Interesse dem Wurzelziehen. Radizieren nannte man das früher und es ist die Umkehrung des Potenzierens. Etwas genauer gesagt, geht es um Quadratwurzeln. Für eine Zahl Z ist das diejenige Zahl W, die mit sich selbst multipliziert Z ergibt, also die Gleichung W x W = Z erfüllt.
Die Zahl Z = 9, zum Beispiel, hat die Wurzel W = 3. Eine weitere Wurzel ist -3, denn auch (-3) x (-3) = 9. Die beiden Wurzeln der Quadratzahl 9 sind also ganze Zahlen. Das ist einer der möglichen Fälle. Schon der griechische Mathematiker Theaitetos von Athen (zirks 417 bis 369 vor Christus) hat um 380 vor Christus bewiesen, dass alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen entweder ganz oder irrational sind. Irrational ist eine Zahl, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Dann ist sie eine Kommazahl mit unendlich vielen, sich nicht wiederholenden Dezimalen.
Rasantes Radizieren leicht gemacht
Wir werden sehen, dass Hochgeschwindigkeitswurzelziehen für bis zu fünfstelligen Quadratzahlen leicht möglich ist. Das sind die Situationen, in denen das Wurzelziehen glatt aufgeht und die Wurzeln höchstens dreistellig sind. Dieses rasante Radizieren geht in weniger als zwei Atemzügen. Sehen Sie selbst:
Die positive Wurzel W einer Quadratzahl Q lässt sich in zwei Schritten ziehen:
1. Schritt: Streichen Sie die letzten beiden Stellen von Q, also die Einer- und die Zehnerstelle, und suchen Sie die größte Zahl G, die quadriert kleiner oder gleich der dann erhaltenen Zahl Z ist. G bildet die ersten Stellen der Lösung W.
2. Schritt: Betrachten Sie die Einerstelle E der Quadratzahl Q. Mit ihr bekommen Sie die letzte Ziffer L der Lösung, die dann einfach nur noch an G angefügt werden muss, um die Wurzel zu erhalten. Das geht so:
Ist E = 0, dann ist L = 0
Ist E = 1, dann ist L = 1 oder L = 9
Ist E = 4, dann ist L = 2 oder L = 8
Ist E = 5, dann ist L = 5
Ist E = 6, dann ist L = 4 oder L = 6
Ist E = 9, dann ist L = 3 oder L = 7
Warum das so ist, dürfte klar werden, wenn man die Zahlen L = 0 bis L = 9 quadriert. Der Liste ist zu entnehmen, dass es meist zwei mögliche Endziffern für die Lösung gibt, außer wenn E = 0 oder E = 5 ist. Um zu sehen, ob die kleinere oder die größere der beiden Endziffern zur richtigen Lösung führt, geht man so vor: Man nehme das Ergebnis G von Schritt 1 und multipliziere es mit G + 1. Ist das Produkt G x (G + 1) größer als der Anfangsabschnitt Z, so ist die kleinere Zahl die richtige Endziffer. Andernfalls ist es die größere Zahl.
Das hört sich alles ziemlich theoretisch und sogar vertrackt an, geht aber ausgesprochen schnell.
Nehmen wir die Quadratzahl 841.
Streichen, Abgleichen, Multiplizieren
Streichen wir die letzten beiden Stellen, so bleibt nur die 8 übrig. Die größte ganze Quadratzahl, die nicht größer als 8 ist, ist 4 = 2 x 2. Somit haben wir die Anfangsziffer der Wurzel aus 841 gefunden. Es ist die 2. Da 841 als letzte Ziffer eine 1 hat, muss nach obiger Liste die letzte Ziffer der Wurzel entweder eine 1 oder eine 9 sein. Um die richtige zu finden, bilden wir das Produkt 2 x 3 = 6, was kleiner als die Anfangsziffer 8 ist. Demnach ist die größere Zahl 9 die letzte Ziffer der Lösung, die deshalb 29 lautet. Und in der Tat zeigt eine kleine Rechnung mit unseren früheren Methoden des schnellen Multiplizierens, dass 29 x 29 = 841 ist.
Unser zweites Beispiel ist die Zahl 3.844.
Wir wissen, dass die Quadratwurzel aus dieser Zahl wiederum zweistellig ist. Das Streichen der letzten beiden Ziffern von 3844 ergibt 38. Da 6 x 6 = 36 die nächstliegende, nicht größere Quadratzahl ist, erhalten wir eine 6 als erste Ziffer der Lösung. Da die letzte Ziffer von 3.844 eine 4 ist, kommt als zweite Ziffer der Lösung nur eine 2 oder eine 8 in Frage. Da aber 6 x 7 = 42 größer als 38 ist, muss es die 2 sein und unsere Lösung lautet 62.
Als drittes Beispiel nehmen wir die fünfstellige Zahl 19.321.
Der erste Schritt führt auf 193 und wegen 13 x 13 =169, aber 14 x 14 = 196, bekommen wir 13 als Anfangsabschnitt der Lösung. Da die letzte Ziffer von 19321 eine 1 ist, muss die letzte Ziffer der Lösung eine 1 oder eine 9 sein. Da 13 x 14 = 182 kleiner als 193 ist, muss es sich um die 9 handeln und unsere Lösung ist 139.
Haben Sie Lust, es selbst zu probieren? Welches sind die positiven Wurzeln von:
961
5.929
13.225