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Sind Sie schlauer als ein Genie? Lösung und Zugabe.

 

Erfreulich viele von Ihnen haben vergangene Woche den Beitrag zum Ziegenproblem kommentiert. Hier ist es erneut kurz zusammengefasst, bevor ich die Lösung präsentiere.Hinter einer von drei geschlossenen Türen befindet sich ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Tür 1. Der Moderator, der genau weiß, was sich hinter welcher Tür befindet, öffnet anschließend immer eine Ziegentür, sagen wir Tür 3. Dann gibt er Ihnen die Möglichkeit, zu Tür 2 zu wechseln. Ist es besser zu wechseln, nicht zu wechseln oder ist es egal?

Zwar wurde noch keine Religion aus der Frage gemacht, ob man wechseln soll oder nicht, doch auch so gibt es zwischen beiden Fraktionen einen regelrechten Glaubenskrieg. Selbst einige sehr schlaue Köpfe hatten Schwierigkeiten mit diesem Problem, wie der zuletzt erwähnte Mathematiker Paul Erdős. Nach meiner eigenen Erfahrung denken die meisten Menschen, mit denen ich über das Problem gesprochen habe, es sei egal, ob man wechselt oder nicht.

Wenn ich zur absoluten Klarstellung annehme, dass Sie tatsächlich das Auto gewinnen wollen und der Moderator, wenn er die Wahl zwischen zwei Ziegentüren zum Öffnen hat, er rein zufällig eine der beiden auswählt, dann verdoppelt ein Türwechsel Ihre Gewinnchance.

Man sollte also wechseln. Das ist die richtige Antwort. Wie aber sie begreiflich machen?

Es gibt dafür viele Möglichkeiten. Man kann Fallunterscheidungen vornehmen, mit Baumdiagrammen arbeiten oder das Bayessche Theorem aus der Wahrscheinlichkeitstheorie bemühen.

Der einfachste Weg scheint mir dieser zu sein:

Schauen wir uns an, wann die beiden konkurrierenden Strategien zum Erfolg führen.

Wenn ich nicht wechsle, gewinne ich das Auto dann und nur dann, wenn ich mit meiner Wahl die Autotür getroffen habe. Da es nur ein Auto, aber drei Türen gibt, und das Auto mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter jeder der Türen stehen kann, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3.

Wenn ich wechsle, gewinne ich das Auto dann und immer dann, wenn ich bei meiner ersten Wahl eine der Ziegentüren gewählt habe. Da es zwei Ziegentüren gibt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür 2/3. Habe ich nämlich anfangs eine Ziegentür gewählt, so ist der Moderator gezwungen, die andere Ziegentür zu öffnen und mein anschließender Türwechsel bringt mich zur Autotür.

Voilà.

Psychologisch interessant ist die Frage, warum so viele Menschen denken, die beiden am Ende noch geschlossenen Türen hätten dieselbe Gewinnchance von 1/2. Entwicklungspsychologen wie der Schweizer Jean Piaget haben festgestellt, dass wir als Kinder Wahrscheinlichkeiten intuitiv verstehen lernen als Anteil der möglichen Fälle für ein Ereignis unter allen Fällen. Viele verwenden diese Intuition auch als Erwachsene. Diese Intuition scheitert dann, wenn nicht alle möglichen Fälle dieselbe Chance des Auftretens haben. Beim Werfen zweier Würfel etwa gibt es 11 mögliche Augensummen von 2 bis 12. Doch keine hat die Wahrscheinlichkeit 1/11.

Für alle, die Spaß am Ziegenproblem hatten, gebe ich noch eine kleine Zugabe:

Hinter einer von drei verschlossenen Türen ist ein Auto, hinter den beiden anderen jeweils eine Ziege. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Tür 1. Der Moderator rutscht aus und öffnet dabei mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine von den anderen beiden Türen, die sich zufällig als Ziegentür erweist. Sie können nun bei Ihrer Wahl bleiben oder zur anderen ungeöffneten Tür wechseln. Ist es günstiger zu wechseln, nicht zu wechseln, oder ist es egal?

231 Kommentare

  1.   Oyamat

    Zu Zugabe: Warum sollte der Moderator in *dem* Fall einen Wechsel anbieten? Da gilt dann halt, „gesagt ist gesagt“. Vor allem, wenn er (ebenso zufällig) vor der anderen Tür ausgerutscht ist…
    Mgv Oyamat


  2. Zur Zugabe:

    Ich würde immer noch wechseln, da ich ja erneut mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 auf der anderen Ziege hocke. Also ergibt es auch hier Sinn zu wechseln, unabhängig davon, ob die erste Ziege absichtlich, also wissend, oder zufällig aufgedeckt wurde.


  3. Warum sollte das „Ausrutschen“ etwas an dem Problem ändern?
    Entscheidend ist nur dass der Morderator eine der Ziegentüren öffnet und dadurch ermöglicht die Trefferquote beim Wechsel zu verdoppeln.

  4.   11337

    Wer will denn ein Auto, wenn er eine Ziege haben kann?

  5.   Chross

    Die beste, mir bekannte Erklärung des Problems findet sich übrigens in der Wikipedia in der „Simple English“ Sprachversion. Dort ist das ganze sogar in einer Illustration zusammengefasst worden.
    http://simple.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

  6.   antineutrino

    Wechseln, mit der gleichen Argumentation wie im Artikel geschildert.

    Die Chance, anfangs das Auto selektiert zu haben, ist 1/3. Nach dem Öffnen einer beider beiden anderen Türen (mit Ziege dahinter) ist daher in 2/3 der Fälle das Auto hinter der nicht gewählten, verschlossenen Tür.

    Ob der Moderator die Tür mit der Ziege bewusst oder versehentlich öffnet ist für die Wahrscheinlichkeit egal. Wesentlich ist nicht die Intention der Akteure, sondern lediglich die zu einem jeweiligen Zeitpunkt bekannt Gesamtinformation – und die ist in beiden Fällen gleich.

  7.   Erasmus

    Zur Zugabe: Jetzt ist es selbstverständlich egal, ob man wechselt oder nicht. Denn jetzt ist genau der Fall eingetreten, weswegen viele intuitiv annnehmen, dass die Chance, das Auto zu bekommen, immmer 50:50 wäre. Denn durch das Ausrutschen des Moderators war dieser nicht mehr in seiner Auswahl der Tür durch meine Wahl beeinflusst, es hätte genausogut die ohnehin schon offene Tür sein können, auf die der Moderator durch seinen Ausrutscher gezeigt hat. Das bedeutet, dass die Ziegentür nicht deshalb geöffnet wurde, weil ich den Moderator durch meine Wahl dazu „gezwungen“ (wenn ich eine Ziegentür gewählt habe) oder zumindest „beeinflusst“ (wenn ich die Autortür gewählt habe) hätte, sondern meine erste Wahl ist in diesem Zusatz schlicht egal – wir haben nur Glück, dass der Ausrutscher nicht schief gegangen ist indem der Mod. bspw. die auf die ohnehin schon offene Tür gezeigt hätte, oder gar die Autotür geöffnet hätte. Die erste Wahl und die nun geöffnete Tür kann also ignoriert werden und die Chance ist echt 50%.

  8.   Rezzatoni

    Für die Wahrscheinlichkeiten ist es völlig gleichgültig, ob der Moderator die tür absichtlich oder unabsichtlich öffnet. Das heißt also: wechseln.

  9.   Maksi

    Ich schätze die Moral der Geschichte ist die, dass derjenige am glücklichsten ist und am wenigsten Stress hat der auch mit der Ziege zufrieden ist. :)

  10.   Lukas R

    Zur Abwandlung: Es bleibt bei der besseren Chance, wenn man wechselt.
    Es ist ja völlig unerheblich, ob der Moderator aus Versehen oder mit Absicht eine Ziegentür aufdeckt…
    Die Wahrscheinlichkeit, dass man am Anfang eine Ziegentür gewählt hat, und jetzt durch den Wechsel sicher die Autotür trifft, bleibt bei 2/3! ;)

 

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