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Gott würfelt beim Fußball

 

„Gott würfelt nicht“, sagte Albert Einstein einst. Den Fußballgott aber kann er damit nicht gemeint haben. Wie in jedem anderen Sport kommt es im Fußball auf das Können an. Aber nicht nur. Auch der Zufall spielt eine erhebliche Rolle. Datenanalysen zeigen sogar, dass der Zufallsanteil im Fußball besonders groß ist.

Der Sportwissenschaftler Martin Lames hat Tausende von Bundesligatoren analysiert und die Häufigkeit von Zufallstoren ermittelt. Das sind solche, die unter starker Beteiligung des Faktors Glück zustande kamen. Etwa:

  • Der Schuss wurde für den Torwart unhaltbar abgefälscht
  • Der Ball sprang von Pfosten oder Latte ins Tor
  • Der Torschütze erhielt den Ball als Abpraller
  • Der Schuss aufs Tor kam aus großer Entfernung
  • Der Torwart hatte noch eine starke Berührung mit dem Ball
  • Der Torschütze hat den Ball vom Gegner bekommen

Nach dieser Definition sind im langjährigen Schnitt rund 40 Prozent aller Tore Zufallstore.

Der Zufall ist eine schwer zu fassende Größe. Doch Mathematiker haben auch für den Zufall eine Theorie entwickelt: die Wahrscheinlichkeitstheorie. In mehr als drei Jahrhunderten haben sie viele mathematische Eigenschaften des Zufalls herausgearbeitet.

Der Zufall gehorcht Gesetzen

Denn der Zufall ist nicht regellos. Auch er gehorcht Gesetzen. Selbst der Zufall im Fußball. Da benimmt er sich sogar besonders erstaunlich, weil er dort eine Struktur hat, die uns aus anderen Settings bekannt ist.

Bleiben wir einmal bei den Toren. Teilt man die gesamte Spielzeit in sehr viele kleine Zeitfenster ein, dann gilt annähernd Folgendes:

  • Tore fallen relativ selten. In den allermeisten Zeitfenstern gibt es gar kein Tor und in den anderen höchstens eins.
  • Die Wahrscheinlichkeit für ein Tor in einem Zeitintervall ist proportional zur Länge des Intervalls.
  • Ob in einem Zeitfenster ein Tor fällt, wird nicht davon beeinflusst, was in anderen Zeitfenstern geschieht.

Faszinierend ist nun, dass diese drei Eigenschaften allein zu einer ganz bestimmten Art von strukturiertem Zufall führen: Tore fallen gemäß des Poisson-Prozesses, was schon M.J. Moroney 1951 in seinem Werk Facts from Figures beschrieben hat.

Ein ähnlicher Typ von Zufall findet sich in vielen Situationen. Nämlich immer dort, wo die obigen drei Eigenschaften ungefähr erfüllt sind: etwa bei den Verkehrsunfällen in einer Stadt, den Blitzeinschlägen in einem Waldgebiet, den Geburten, Todesfällen, Eheschließungen, Scheidungen, Selbstmorden in einer Region.

Sowie beim Zerfall radioaktiver Atome: Mannschaften generieren Tore nach demselben statistischen Muster wie Atome Strahlung emittieren. Ganz ähnlich wie beim radioaktiven Zerfall kann ich mit der Poisson-Verteilung so einiges über Tore ausrechnen: Die Wahrscheinlichkeit für k Tore einer Mannschaft in einem Spiel ist e hoch (-m) multipliziert mit m hoch k durch k!.

In dieser Formel ist e = 2,718 die Eulersche Konstante, k! eine Kurzschreibweise für k x (k – 1) x (k – 2) x … x 3 x 2 x 1 und m ist die mittlere Zahl von Toren der Mannschaft pro Spiel.

In der deutschen Bundesliga erzielt die Heimmannschaft im Schnitt 1,63 Tore, die Gastmannschaft 1,25 Tore. (Werte der Spielzeiten 2008/09 bis 2012/13)

Die Poisson-Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2, 3, 4, 5 Tore des Heimteams sind damit: 19,59 Prozent, 31,94 Prozent, 26,03 Prozent, 14,14 Prozent, 5,76 Prozent, 1,88 Prozent. Für das Auswärtsteam entsprechend: 28,65 Prozent, 35,81 Prozent, 22,38 Prozent, 9,33 Prozent, 2,91 Prozent, 0,73 Prozent.

Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein konkretes Spielergebnisse angeben, etwa für 1:1. Sie beträgt 0,3194 x 0,3581 = 0,1144 = 11,44 Prozent.

Das ist übrigens das Spielergebnis mit der höchsten errechneten Wahrscheinlichkeit. Die tatsächliche Häufigkeit während der vier Spielzeiten, auf die sich diese Analyse bezieht, betrug 11,60 Prozent. Wow!

Hier ist eine Gegenüberstellung der fünf häufigsten Spielergebnisse:

Ergebnis          tatsächliche Häufigkeit (%)         Poisson-Wahrscheinlichkeit (%)

1:1                                  11,6                                                         11,4

2:1                                    9,0                                                          9,3

1:0                                   8,3                                                           9,2

2:0                                   7,4                                                           7,5

1:2                                   7,0                                                           7,1

Ferner sind die Prozent-Werte für die drei möglichen Ausgänge

Heimsieg                       45,1                                                          46,3

Unentschieden             24,7                                                          24,4

Auswärtssieg                30,2                                                          29,4

Das ist eine frappierende Übereinstimmung zwischen mathematischem Modell und Realität. Wir haben den Fußballgott durchschaut!

19 Kommentare


  1. Egal, Hauptsache Braunschweig schafft Platz 16! Ich, als Roter, würde mich für Braunschweig freuen, weil:

    1. Die Eintracht das verdient hat.
    2. Das Team mit vollem Herzen kämpft.
    3. Lieberknecht einfach ein toller Trainer ist, der nie aufgibt.

    4. Der HSV und der Club für mich nichts wirklich getan haben, um in der Liga zu bleiben.

    Also, ganz egal, was die Statistik sagt, Eintracht Braunschweig muss bleiben.


  2. Ja super, da wurde also aus der Anzahl der geschossenen Tore abgeleitet, wer das Spiel gewonnen hat… das ist ja mal ein ganz revolutionärer Ansatz… :-/


  3. beim Schuss aus großer Entfernung müsste man wohl noch die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen miteinbeziehen, bei manchen dürfte die durchaus höher sein als die zufällige Quoten bei großen Zahlenwerten.
    Man denke an Spieler wie Seedorf, Roberto Carlos,Juninho, Pirlo, Lampard, Gerrrad oder beckham.
    Der Durchschnitt dürfte wohl über dem anderer Spieler liegen.
    Sonst sehr schicker Artikel.

  4.   TAR86

    Davor passierte schon ein bisschen mehr. Glücklicherweise finde ich Fußball trotzdem spannend, das ist der Unterschied zwischen Statistik und Einzelfall.

  5.   EDL

    Nun wird mir die Popularität von Fußball klar: die Illusion durch Leistung zum Erfolg zu kommen, gepaart mit der Realität, dass der Zufall entscheidet – das ist das Geheimnis des Erfolges des Glückspiels und auch das Geheimnis des Erfolgs der beliebten Causal-Games (auf Smartphones).


  6. Nee, so würde ich das nicht sagen. Eher: Je größer der Leistungsunterschied, desto kleiner der Zufallseinfluss. Und umgekehrt: Zwischen zwei absolut gleichwertigen Teams entscheidet das Glück.

    (Und deswegen ist es auch quatsch den Titelgewinn bei einem KO-Turnier nur auf Dinge wie „Singt die Nationalhymne mit“ zurückzuführen…)

  7.   duplex

    Sind die Zeitintervalle wirklich unabhängig? Bei einem Spielstand von 7:0 werden beide Mannschaften wohl ihre Bemühungen runterfahren und ein Tor wird unwahrscheinlicher, weil es mehr Mittelfeldgeplänkel gibt. Würde das außerdem nicht heißen, dass ein Ergebnis, mit einem Tor in jedem Zeitintervall genauso wahrscheinlich ist, wie ein Spiel mit keinem Tor? Außerdem berücksichtig das Modell die Schiedsrichterentscheidungen nicht. Trotzdem, schöner Artikel.

  8.   hask_l

    Die Rechnung ist ja recht nett, scheint aber zunächst nur zu belegen, dass die Poisson – Verteilung eine recht gute Wahl ist.

    Wenn ich die Parameter aus einem Datensatz (hier: Bundesliga – Ergebnisse)
    generiere und dann mit diesen Parametern Vorhersagen mache, dann sollte es mich schon sehr wundern wenn sie NICHT mit dem Datensatz übereinstimmen.

    Natürlich sind die errechneten Wahrscheinlichkeiten nahe an der echten relativen Verteilung. Denn die echten Ergebnisse liefern mir ja gerade die Parameter. Wenn ich nur ein Spiel zur Grundlage nehme, sagen wir mit Ergebnis 1:0, dann ist die W’keit für die Heim-Mannschaft genau 1 Tor zu schießen auf Grundlage dieses einen Spiels eben 1, die Gast-Mannschaft hat entsprechend eine W’keit von 1, genau 0 Tore zu schießen. Und wenn ich dann meine Wahrscheinlichkeit von 1 für ein 1:0 mit dem tatsächlichen Ergebnis vergleiche, dann erhalte ich – o Wunder – eine Übereinstimmung.

    Um die errechneten Wahrscheinlichkeiten auf ihren Wert zu überprüfen, muss man sie natürlich mit Daten vergleichen, die NICHT zu ihrer Berechnung benutzt worden, sonst hat die schönste Rechnung keinen Wert.


  9. Das meinen Sie doch nicht ernst. Ihre Definition von Glückstor ist ja schon falsch.

    Der Schuss wurde für den Torwart unhaltbar abgefälscht: Unvermögen
    Der Ball sprang von Pfosten oder Latte ins Tor: Erweiterter Trefferbereich
    Der Torschütze erhielt den Ball als Abpraller: Gutes Stellungsspiel
    Der Schuss aufs Tor kam aus großer Entfernung: Tolle Technik
    Der Torwart hatte noch eine starke Berührung mit dem Ball: Unvermögen
    Der Torschütze hat den Ball vom Gegner bekommen: Gutes Pressing

    Zum Glück ist der Fußballer kein Mathematiker, sonst würde er verzweifelt an seinem Rechenschieber fummeln um erst mal die Winkel der Spielfeldmarkierungen zu vermessen um dann den Ball ins Aus zu schießen,

 

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