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Gott würfelt beim Fußball

 

„Gott würfelt nicht“, sagte Albert Einstein einst. Den Fußballgott aber kann er damit nicht gemeint haben. Wie in jedem anderen Sport kommt es im Fußball auf das Können an. Aber nicht nur. Auch der Zufall spielt eine erhebliche Rolle. Datenanalysen zeigen sogar, dass der Zufallsanteil im Fußball besonders groß ist.

Der Sportwissenschaftler Martin Lames hat Tausende von Bundesligatoren analysiert und die Häufigkeit von Zufallstoren ermittelt. Das sind solche, die unter starker Beteiligung des Faktors Glück zustande kamen. Etwa:

  • Der Schuss wurde für den Torwart unhaltbar abgefälscht
  • Der Ball sprang von Pfosten oder Latte ins Tor
  • Der Torschütze erhielt den Ball als Abpraller
  • Der Schuss aufs Tor kam aus großer Entfernung
  • Der Torwart hatte noch eine starke Berührung mit dem Ball
  • Der Torschütze hat den Ball vom Gegner bekommen

Nach dieser Definition sind im langjährigen Schnitt rund 40 Prozent aller Tore Zufallstore.

Der Zufall ist eine schwer zu fassende Größe. Doch Mathematiker haben auch für den Zufall eine Theorie entwickelt: die Wahrscheinlichkeitstheorie. In mehr als drei Jahrhunderten haben sie viele mathematische Eigenschaften des Zufalls herausgearbeitet.

Der Zufall gehorcht Gesetzen

Denn der Zufall ist nicht regellos. Auch er gehorcht Gesetzen. Selbst der Zufall im Fußball. Da benimmt er sich sogar besonders erstaunlich, weil er dort eine Struktur hat, die uns aus anderen Settings bekannt ist.

Bleiben wir einmal bei den Toren. Teilt man die gesamte Spielzeit in sehr viele kleine Zeitfenster ein, dann gilt annähernd Folgendes:

  • Tore fallen relativ selten. In den allermeisten Zeitfenstern gibt es gar kein Tor und in den anderen höchstens eins.
  • Die Wahrscheinlichkeit für ein Tor in einem Zeitintervall ist proportional zur Länge des Intervalls.
  • Ob in einem Zeitfenster ein Tor fällt, wird nicht davon beeinflusst, was in anderen Zeitfenstern geschieht.

Faszinierend ist nun, dass diese drei Eigenschaften allein zu einer ganz bestimmten Art von strukturiertem Zufall führen: Tore fallen gemäß des Poisson-Prozesses, was schon M.J. Moroney 1951 in seinem Werk Facts from Figures beschrieben hat.

Ein ähnlicher Typ von Zufall findet sich in vielen Situationen. Nämlich immer dort, wo die obigen drei Eigenschaften ungefähr erfüllt sind: etwa bei den Verkehrsunfällen in einer Stadt, den Blitzeinschlägen in einem Waldgebiet, den Geburten, Todesfällen, Eheschließungen, Scheidungen, Selbstmorden in einer Region.

Sowie beim Zerfall radioaktiver Atome: Mannschaften generieren Tore nach demselben statistischen Muster wie Atome Strahlung emittieren. Ganz ähnlich wie beim radioaktiven Zerfall kann ich mit der Poisson-Verteilung so einiges über Tore ausrechnen: Die Wahrscheinlichkeit für k Tore einer Mannschaft in einem Spiel ist e hoch (-m) multipliziert mit m hoch k durch k!.

In dieser Formel ist e = 2,718 die Eulersche Konstante, k! eine Kurzschreibweise für k x (k – 1) x (k – 2) x … x 3 x 2 x 1 und m ist die mittlere Zahl von Toren der Mannschaft pro Spiel.

In der deutschen Bundesliga erzielt die Heimmannschaft im Schnitt 1,63 Tore, die Gastmannschaft 1,25 Tore. (Werte der Spielzeiten 2008/09 bis 2012/13)

Die Poisson-Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, 2, 3, 4, 5 Tore des Heimteams sind damit: 19,59 Prozent, 31,94 Prozent, 26,03 Prozent, 14,14 Prozent, 5,76 Prozent, 1,88 Prozent. Für das Auswärtsteam entsprechend: 28,65 Prozent, 35,81 Prozent, 22,38 Prozent, 9,33 Prozent, 2,91 Prozent, 0,73 Prozent.

Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein konkretes Spielergebnisse angeben, etwa für 1:1. Sie beträgt 0,3194 x 0,3581 = 0,1144 = 11,44 Prozent.

Das ist übrigens das Spielergebnis mit der höchsten errechneten Wahrscheinlichkeit. Die tatsächliche Häufigkeit während der vier Spielzeiten, auf die sich diese Analyse bezieht, betrug 11,60 Prozent. Wow!

Hier ist eine Gegenüberstellung der fünf häufigsten Spielergebnisse:

Ergebnis          tatsächliche Häufigkeit (%)         Poisson-Wahrscheinlichkeit (%)

1:1                                  11,6                                                         11,4

2:1                                    9,0                                                          9,3

1:0                                   8,3                                                           9,2

2:0                                   7,4                                                           7,5

1:2                                   7,0                                                           7,1

Ferner sind die Prozent-Werte für die drei möglichen Ausgänge

Heimsieg                       45,1                                                          46,3

Unentschieden             24,7                                                          24,4

Auswärtssieg                30,2                                                          29,4

Das ist eine frappierende Übereinstimmung zwischen mathematischem Modell und Realität. Wir haben den Fußballgott durchschaut!

19 Kommentare


  1. „nach dieser definition sind rund 40%…“ – genau, nach DIESER defintion, aber diese definition ist einfach schlecht. man muss unterscheiden zwischen empfundenem glück und zufall.
    wenn mein gegner aufs leere tor nicht trifft, dann hab ich „glück“, aber das hat mit zufall nichts zu tun, sondern ausschließlich mit der unfähigkeit des gegners in der situation. wenn ich schieß und der ball geht vom pfosten ins tor…warum ist das zufall? gute spieler schaffen es auf lange sicht öfter den ball exakt neben den pfosten bzw an den innenpfosten zu schießen als weniger gute spieler. wenn ich den ball vom gegner serviert bekomme, wieso ist das zufall? der gegner war unfähig. zufall ist wenn die platzverhältnisse reinkommen, abgefälschte bälle etc, ja sowas ist zufall.
    dann die sache mit der großen entfernung…wenn das ja der pure zufall ist, warum gibt es dann spieler die auffallend oft aus größerer entfernung treffen? allgemein wird hier über zufall im fußball geschrieben, aber eigentlich gehts nur um tore, ebenfalls ein falscher ansatz imo.
    ich will nicht sagen, dass es im fußball keinen zufall gibt, den gibt es. aber man muss sich schon klar machen, dass würfeln etwas ist, wo ich keinen einfluss habe und zwar gar keinen, das ist purer zufall. aber beim fußball habe ich immer einfluss, bei jedem schuss, bei jeder aktion (mit ein paar seltenen ausnahmen). selbst bei abgefälschten bällen gab es ja die aktion (schuss bzw hingehen zum abblocken) was auf das ergebnis einfluss nimmt und daher schon nicht mehr mit würfeln verglichen werden kann imo.


  2. zusatz zu meinem kommentar (btw @zeit: wieso keine bearbeiten-option?!)

    es ist ein bisschen so:
    ein Messi, ronaldo und wie sie alle heißen machen aus ner festen anzahl an chancen wesentlich mehr tore als durchschnittsprofis, aber beim würfel hätte selbst ich ne chance gegen die oben genannten ;) das zeigt doch schon dass dieses zufallsgebabbel und das „der fuba-gott würfelt“ cool klingen soll aber nicht wirklich was dahinter steckt.


  3. „Der Ball sprang von Pfosten oder Latte ins Tor: Erweiterter Trefferbereich“ LOL Sie haben vergerssen: Mannschaft verliert den Münzwurf: Schlecht geworfen ;-)

    Im ernst: Wenn immer derselbe Stürmer aus derselben Distanz auf dasselbe Tor mit demselben Torhüter schießt, würde nach ihrer Definition immer dasselbe bei rauskommen.
    Natürlich lassen sich Wahrscheinlichkeiten beeinflussen – Lewandowski wird häufiger richtig zum Ball stehen als ich – aber das heißt nicht, dass es keine Wahrscheinlichkeiten sind.


  4. Also ich finde die Zufallsdefintion, wie schon Vorgänger auch nicht ganz so zutreffend, da man die Fehler vom Gegner auch „erzwingen“ kan über z.B. Pressing. Der Gegner steht unter psychischem Druck und macht deswegen Fehler.
    Aber grundsätzlich finde ich die abschließende Berchnung für das Ergebnis durchaus interressant… könnte man mal ausprobieren.

  5.   Muskat

    @ViscaAbi
    In Ihrem Beispiel wäre die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 100% für Albi & Co. Ist auch Wahrscheinlichkeitsrechnung ;-).

    Aber im Ernst. Wahrscheinlichkeit + Zufall heißt nicht, dass immer alles 50/50 abgeht. Das Beispiel zeigt sehr gut auf, dass es hier um Häufigkeiten geht, aus denen die Wahrscheinlichkeiten abgeleitet werden. Alleine schon die Definition „Auswärtsmannschaft“ / Heimmannschaft heisst ja, dass die gleiche Mannschaft mal in der einen und mal in der anderen Rolle vorkommt. Und da das für alle gilt, ist ja die Frage, warum sich dann das Siegverhältnis nicht bei 3373/33 oder so was einpegelt, sondern bei oben beschriebenen Verhältnis.

    Die Wahrscheinlichkeitsrechnung macht dann nichts anderes als diese Häufigkeiten her zunehmen und ein Modell anzupassen, mit dem dann die Wahrscheinlichkeit eines Spielausganges vorher gesagt wird. Ob das Modell stimmt, muss man dann halt prüfen, indem man sich die Spielstände weiterer Spiele hernimmt und deren Häufigkeiten misst. Ist mir aber zu langweilig, ich bin kein Fussballfan. Rechnet also nicht mit mir.

    Allerdings finde ich das ganz praktisch. Ich muss mal nachrechnen, ob ich damit was beim Toto reißen kann.

  6.   Christian Hesse

    @ duplex

    Ja, das ist eine sehr gute Frage.Das wahrscheinlichkeitstheoretische Modell operiert ja mit einer ganzen Reihe von Annahmen. Die Unabhängigkeit der Zeitintervalle ist ja nur eine davon. Natürlich sind diese Annahmen in der Realität nicht exakt erfüllt, denn das Modell ist ja eine starke Vereinfachung einer sehr komplizierten Realität. Dass die Annahmen aber doch hinreichend genau erfüllt sind, zeigt ja letztendlich die sehr gute Übereinstimmung zwischen den aus dem Modell errechneten Eigenschaften und den Häufigkeiten der Ergebnisse bei einer großen Zahl von Spielen.

  7.   Christian Hesse

    @ hask_I

    Im Prinzip haben Sie Recht, dass es besser wäre, die eine Hälfte des Datensatzes zur Anpassung des Modells zu verwenden und dann das sich ergebende Modell an der anderen Hälfte des Datensatzes zu testen. Doch das Modell umfasst ja hier nur zwei Parameter, die mittlere Toranzahl für Heim- bzw. Gastmannschaften. Und ob diese nun aus den vier verwendeten Spielzeiten berechnet werden oder aus allen anderen verbleibenden Spielzeiten ändert diese Parameter so gut wie kaum. Auch dann liefert die Anpassung des Poisson-Modells wieder eine hervorragende Übereinstimmung mit der Wirklichkeit.


  8. Lieber Prof. Dr. Hesse,
    ich bin an einem toten Punkt angelangt, vielleicht können Sie mir bitte helfen :-)
    wenn ich die obige Formel ‚k Tore einer Mannschaft in einem Spiel ist e hoch (-m) multipliziert mit m hoch k durch k!‘ zerlege, dann erhalte ich bei der Suche nach der Wahrscheinlichkeit für 0,1,2 Tore eine unendliche Zahl (im Nenner entweder bei k (für Null), k-1 (bei 1), spätest bei k-2 (bei 2)), da der Nenner bei mir dann Null ist.
    Konkret wollte ich Ihren sehr interessanten Artikel (vielen Dank!) an einer Mannschaft testen, die ganz, ganz weit unten, nicht mal in der 1., sondern in der 2. Liga spielt, um die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu verstehen: St. Pauli. Von dieser Mannschaft kann man nun nicht behaupten, dass sie irgend einen Durchschnitt darstellt :-)
    In Zahlen: in 19 Spielen (g: 4 / u: 4 / v: 11 Spiele) kassierte Pauli 39 Tore und lochte 22 selbst ein, gesamt: 61 Tore. Macht 3,21 Tore/Spiel gesamt, wobei Pauli 1,16 Tore/Spiel schoss und 2,05 kassierte.
    Aus dem Bauch heraus würde ich sagen, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass bei Abpfiff 2, 3, gar 4 Tore gefallen und 0 wie 10 Tore sehr unwahrscheinlich sind. Aber wie kann ich das mit der obigen Formel untermauern?
    Sie werden es anhand meiner laienhaften Ausführungen gemerkt haben: abschätzen kann ich – berechnen, da hapert es, leider…

 

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