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Paradoxe Geburtstage

 

Kürzlich rief ich bei einer Behörde an und die Dame am Telefon brauchte zur Identifizierung mein Geburtsdatum. Es stellte sich heraus, dass wir beide am selben Tag Geburtstag haben. „Was für ein seltener Zufall“, sagte die freundliche Sachbearbeiterin.

Aber stimmt das? Ist das wirklich ein seltener Zufall? Keineswegs.

Schon in einer Gruppe von 23 willkürlich ausgewählten Personen besteht nach mathematischer Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Chance von 50 Prozent, dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag feiern; gleicher Monat, gleicher Tag.

Den meisten Menschen erscheint das ausgesprochen paradox. Immerhin gibt es 365 mögliche Geburtstage, mit dem 29. Februar sogar 366. Der Mathematiker Richard von Mises bezeichnete dies als Geburtstagsparadoxon.

Schauen wir uns kurz an, warum eine so kleine Gruppe ausreicht. Unser Gefühl verwechselt das Problem offenbar mit folgender Frage: „Wie groß muss die Gruppe sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine der Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat, zum Beispiel an meinem Geburtstag?“

Darauf ist die richtige Antwort in der Tat viel größer, nämlich 253 Personen. Das ergibt 253 paarweise Vergleiche mit meinem Geburtstag. Besteht eine Gruppe nur aus 23 Personen, dann gibt es aber ebenfalls 23 x 22/2 = 253 paarweise Vergleiche der Geburtstage von je zwei Gruppenmitgliedern. Eine Gruppe von 23 Personen reicht also aus.

Anders ausgedrückt: Im Schnitt haben bei der Hälfte aller Fußballspiele zwei Akteure in der Startaufstellung am selben Tag Geburtstag (zwei mal elf Spieler plus Schiedsrichter).

 

59 Kommentare

  1.   mrm

    Das Geburtstagsparadoxon ist ja ein recht alter Hut, hat aber mit der eingangs beschriebenen Situation doch recht wenig zu tun. Das Ereignis, dass jemand den genau gleichen Geburtstag wie ich hat, ist nunmal 1/365 = 0,267% (wenn man von Schaltjahren und Saison-Effekten absieht). Daher ist es schon überraschend, wenn man mal so jemanden trifft.

  2.   Nunupeke

    Das heißt jetzt aber, dass die Dame auf dem Amt den gleichen Geburtstag hat wie ich ist immer noch so unwahrscheinlich, wie man es sich vorstellt (1/253 ?), da mein Geburtstag ja fest liegt. Das Geburtstagsparadoxon ist schön dargestellt, das Beispiel mit dem Anruf auf dem Amt passt leider nicht, da ich ja auf 253 Ämtern anrufen muss, damit es zu 50% einmal klappt.


  3. Mathematik ist ein artifizielles System. Jedes System hat Grenzen zu den Bereichen, in denen es nicht relevant ist. Man kann z.B. mit Mathematik keine Beziehung führen oder ein Kind erziehen.

  4.   pparson

    „Ist das wirklich ein seltener Zufall? Keineswegs.“

    Doch, ist es:

    “’Wie groß muss die Gruppe sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine der Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat, zum Beispiel an meinem Geburtstag?‘

    Darauf ist die richtige Antwort in der Tat viel größer, nämlich 253 Personen.“

    Genau auf diesen Fall bezog sich die Sachbearbeiterin :)

  5.   Max Merker

    Also ich hab jetzt versucht, das zu verstehen. Allerdings musste ich dafür Wikipedia bemühen und bin immernoch nicht wirklich schlauer.

    Deshalb: Lieber Autor,
    1. Welche Formel liegt der Paar-Kombinationen-Berechnung zugrunde und warum kommt man auf diese Formel? Es gibt dazu leider im Artikel keine Erklärung?
    2. Was hat ihre Lösung mit der Aussage der Sekretärin zu tun? Das Problem, was im Wikipedia-Artikel über das Geburtstags-Paradoxon beschrieben ist, trifft auf die von Ihnen beschriebene Situation nicht zu.
    Ihre Frage war, ob es denn wirklich so unwahrscheinlich ist, dass die Sekretärin genau an IHREM Geburtstag auch Geburtstag hat. Das ist mittels des Geburtstagsparadoxons nicht zu lösen.

    Vielen Dank für die Erklärungen/Erläuterungen

    Mit freundlichem Gruß

    Baradin

  6.   Ali

    Wieso 23 Personen? Müssten denn nicht 253 Personen bei der Sachbearbeiterin anrufen, damit (zu 50%) eine davon ihren Geburtstag hat?

    Und woher kommt eigentlich diese Zahl 253, die ohne Erklärung in den Raum geworfen wird?

  7.   Seb

    Sehr geehrter Herr Hesse,

    sehr interessanter Blog. Wenn ich ihn jetzt noch verstehen würde, wäre das perfekt.

    „Besteht eine Gruppe nur aus 23 Personen, dann gibt es aber ebenfalls 23 x 22/2 = 253 paarweise Vergleiche der Geburtstage von je zwei Gruppenmitgliedern. Eine Gruppe von 23 Personen reicht also aus.“

    Woher kommen die 22/2? Warum die 253? Formel?

    Das erinnert mich stark an meine Mathematik Vorlesungen, wenn der liebe Herr Prof. an die Tafel schaute und sagte zur Lösung komplexeren Matrix: „Das sieht man doch“. Damit war er leider unter den 300 Leuten im Raum der einzige.

  8.   uph

    Das Beispiel aus der Einleitung passt nur bedingt zum Geburtstagsparadoxon: Hier ist es in der Tat nur ein fester Geburtstag (nämlich der der Sachbearbeiterin), der mit denen der Anrufer verglichen wird. Da müssen dann schon im Schnitt 253 Menschen anrufen, damit man eine fünfzigprozentige Chance auf einen Treffer hat.

    Die folgende Bemerkung entbehrt nicht einer gewissen Ironie:
    ‚Unser Gefühl verwechselt das Problem offenbar mit folgender Frage: “Wie groß muss die Gruppe sein, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine der Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat, zum Beispiel an meinem Geburtstag?”‘

  9.   Britta Singer

    Und wer’s nach diesen puppeneinfachen Ausführungen immer noch nicht kapiert, dem ist sowieso nicht zu helfen, der ist einfach zu doof.

    Genau solche – für Mathe-Nicht-Versteher – abgehobenen und zusammenhanglosen Erklärungen, mit dem Anspruch, jetzt jedem Deppen mal was erklärt zu haben, sorgen für den Effekt, dass Mathe für viele schrecklich, nervig und anstrengend ist.

  10.   hui!

    Um verstehen zu können, wie Prof. Hesse auf die jeweiligen Zahlen kommt, müsse man sich erstmal das Geburtstagsparadoxon etwas zu Gemüte führen, da dies hier vorausgesetzt wird. Man könnte dies erklären, doch reicht bereits ein flüchtiger Blick auf Wikipedia, welche ich normalerweise für das Verständnis mathematischer „Probleme“ nicht empfehlen würde, aus zur Klärung der Formeln und eingesetzter Zahlen.

    Mit freundlichem Gruß

 

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