Kürzlich hat eine Studie zur Volkskrankheit Krebs aufsehen erregt, die dem Zufall einen großen Anteil daran gibt, ob man irgendwann daran erkrankt oder nicht. Grund genug, sich hier einmal aus mathematischer Perspektive mit dem Zufall zu befassen.
Seit Jahrtausenden beschäftigen Menschen sich mit Mathematik. Es begann wohl damit, dass Handel getrieben, Land vermessen und Kalender erstellt wurden – alles Aktivitäten, die in ihrer Ausführung mathematische Fertigkeiten erfordern. Die Mathematik fing also irgendwann mit Arithmetik und Geometrie an. Ihr genauer Ursprung kann nicht datiert werden.
Womit die Mathematiker sich erst sehr viel später beschäftigt haben, ist die wissenschaftliche Untersuchung des Zufalls. Dass die großen Denker ihn lange Zeit aussparten, daran hat auch Aristoteles einen nicht geringen Anteil: Schon vor mehr als 2.000 Jahren hatte er dezidiert erklärt, dass das ganze Gebiet der Zufälligkeit keiner Untersuchung zugänglich sei, und zwar wegen prinzipieller und unüberwindbarer Schwierigkeiten. Aristoteles Autorität war so groß, dass seine Aussage noch im Mittelalter nicht angezweifelt wurde.
Die mathematische Theorie des Zufallsgeschehens: die Wahrscheinlichkeitstheorie
Die ersten mathematischen Untersuchungen zum Zufall und seinen Gesetzmäßigkeiten fanden im Zusammenhang mit Glücksspielen statt. Im 17. Jahrhundert, ausgelöst durch einen Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre der Fermat, wurden so die Grundlagen einer mathematischen Theorie des Zufallsgeschehens gelegt: der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Ein Problem spielte dabei eine wichtige Rolle. Es führte unter den Mathematikern jener Zeit zu kontroversen Diskussionen. Zurückverfolgen lässt es sich sogar bis ins 15. Jahrhundert, bis zu Luca Pacioli (um 1445 bis zirka 1514), einem der bekanntesten Rechenmeister der italienischen Renaissance.
Hier ist das Problem:
Zwei Spieler, A und B, haben einen Einsatz von je 14 Dukaten geleistet. Um den Gesamteinsatz spielen sie ein Glücksspiel, das aus mehreren Runden besteht. In jeder Runde wird durch Wurf einer fairen Münze der Rundensieger bestimmt. A und B haben vereinbart, dass der erste, der fünf Runden gewinnt, den Gesamteinsatz bekommt. Bei einem Spielstand von 4 : 3 für Spieler A muss wegen höherer Gewalt die Spielserie abgebrochen werden. Was ist die gerechte Aufteilung des Gesamteinsatzes an die beiden Spieler bei diesem Spielstand?
Wie erwähnt kann man über die Antwort geteilter Meinung sein, wenn sich auch unter Mathematikern schließlich eine Sichtweise mehrheitlich durchgesetzt hat.
Nehmen Sie es mit den Mathe-Matadoren auf!
Den zahlreichen Reaktionen und Kommentaren zum Blog-Beitrag über das Ziegenproblem habe ich entnommen, dass sich viele Leser gerne über anregende Probleme Gedanken machen. Hier haben Sie die Gelegenheit, in die Gedankenwelt der führenden Mathe-Matadore aus der Mitte des letzten Jahrtausends einzutauchen.
Wie würden Sie den Gesamteinsatz von 28 Dukaten bei Spielabbruch an die beiden Spieler verteilen?