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Der Anfang vom Rechnen mit Zufällen

 

Kürzlich hat eine Studie zur Volkskrankheit Krebs aufsehen erregt, die dem Zufall einen großen Anteil daran gibt, ob man irgendwann daran erkrankt oder nicht. Grund genug, sich hier einmal aus mathematischer Perspektive mit dem Zufall zu befassen.

Seit Jahrtausenden beschäftigen Menschen sich mit Mathematik. Es begann wohl damit, dass Handel getrieben, Land vermessen und Kalender erstellt wurden – alles Aktivitäten, die in ihrer Ausführung mathematische Fertigkeiten erfordern. Die Mathematik fing also irgendwann mit Arithmetik und Geometrie an. Ihr genauer Ursprung kann nicht datiert werden.

Womit die Mathematiker sich erst sehr viel später beschäftigt haben, ist die wissenschaftliche Untersuchung des Zufalls. Dass die großen Denker ihn lange Zeit aussparten, daran hat auch Aristoteles einen nicht geringen Anteil: Schon vor mehr als 2.000 Jahren hatte er dezidiert erklärt, dass das ganze Gebiet der Zufälligkeit keiner Untersuchung zugänglich sei, und zwar wegen prinzipieller und unüberwindbarer Schwierigkeiten. Aristoteles Autorität war so groß, dass seine Aussage noch im Mittelalter nicht angezweifelt wurde.

Die mathematische Theorie des Zufallsgeschehens: die Wahrscheinlichkeitstheorie

Die ersten mathematischen Untersuchungen zum Zufall und seinen Gesetzmäßigkeiten fanden im Zusammenhang mit Glücksspielen statt. Im 17. Jahrhundert, ausgelöst durch einen Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre der Fermat, wurden so die Grundlagen einer mathematischen Theorie des Zufallsgeschehens gelegt: der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Ein Problem spielte dabei eine wichtige Rolle. Es führte unter den Mathematikern jener Zeit zu kontroversen Diskussionen. Zurückverfolgen lässt es sich sogar bis ins 15. Jahrhundert, bis zu Luca Pacioli (um 1445 bis zirka 1514), einem der bekanntesten Rechenmeister der italienischen Renaissance.

Hier ist das Problem:

Zwei Spieler, A und B, haben einen Einsatz von je 14 Dukaten geleistet. Um den Gesamteinsatz spielen sie ein Glücksspiel, das aus mehreren Runden besteht. In jeder Runde wird durch Wurf einer fairen Münze der Rundensieger bestimmt. A und B haben vereinbart, dass der erste, der fünf Runden gewinnt, den Gesamteinsatz bekommt. Bei einem Spielstand von 4 : 3 für Spieler A muss wegen höherer Gewalt die Spielserie abgebrochen werden. Was ist die gerechte Aufteilung des Gesamteinsatzes an die beiden Spieler bei diesem Spielstand?

Wie erwähnt kann man über die Antwort geteilter Meinung sein, wenn sich auch unter Mathematikern schließlich eine Sichtweise mehrheitlich durchgesetzt hat.

Nehmen Sie es mit den Mathe-Matadoren auf!

Den zahlreichen Reaktionen und Kommentaren zum Blog-Beitrag über das Ziegenproblem habe ich entnommen, dass sich viele Leser gerne über anregende Probleme Gedanken machen. Hier haben Sie die Gelegenheit, in die Gedankenwelt der führenden Mathe-Matadore aus der Mitte des letzten Jahrtausends einzutauchen.

Wie würden Sie den Gesamteinsatz von 28 Dukaten bei Spielabbruch an die beiden Spieler verteilen?

92 Kommentare

  1.   reinbot

    Spieler A (derjenige, der 4:3 führt) hat eine 75% (1/2+1/2*1/2) Chance zu gewinnen, also 21 Euro für ihn. Spieler B muss beide nächsten Würfe gewinnen, also 25%=7 Euro für ihn.

  2.   Stefan

    Würde man das Ergebnis berücksichtigen:
    28 Dukaten / 7 Runden = 4 pro Runde
    16 für 4 Siege
    12 für 3 Siege.

    Da es aber keinen Sieger gibt, weil das Spiel abgebrochen ist, bekommen beide den Einsatz zurück und versuchen es morgen noch einmal :-)

  3.   Bundespräsident Gauß

    21:7 Dukaten (75% : 25%) an den Führenden, da der Außenseiter jetzt 2 Siege in Folge braucht (Siegeswahrscheinlichkeit für ihn: 25%)

  4.   safavi

    Ich würde Spieler B 25% des Gewinns geben (also 7 Dukaten). Denn damit er doch noch gewinnt, muss zweimal die Münze zu seinen Gunsten geworfen werden. Da jeder Wurf zur Hälfte für ihn entscheidet, ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Würfe hintereinander in der Gunst von B entschieden sind, ein Viertel. Spieler A würde somit 21 Dukaten erhalten, und damit faktisch die Hälfte vom Einsatz.

  5.   Sebastian Diemann

    Moin,
    ich würde beiden die Hälfte geben. Jedenfalls, wenn ich damals in der Schule richtig zugehört habe. Denn schließlich ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf separat wieder 50/50.

    Besten Gruß
    Sebastian

  6.   Carlos

    Vereinbart haben die Spieler für den Fall gar nichts, so dass eigentlich die einzige faire Lösung ist, das Spiel für nicht geschehen zu betrachten und jedem der beiden seinen Einsatz von 14 Duk. zurückzugeben. Spieler A könnte natürlich auch auf die Idee kommen, 21 Duk. zu beanspruchen, da seine Wahrscheinlichkeit, in der nächsten oder übernächsten Runde zu gewinnen, 3/4 beträgt, während Spieler B nur 1/4 Chance hätte, in der übernächsten Runde die Partie für sich zu entscheiden. Schlau, aber m.E. unhaltbar.

  7.   Hannes

    Ginge das Spiel weiter würde Spieler A beim ersten Münzwurf entweder gewinnen(Wahrscheinlichkeit 50%) oder es geht in eine weitere Runde(Wahrscheinlichkeit 50%). In der weiteren Runde werden die verbleibenden 50% auf beide Spieler aufgeteilt. Somit hat A eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 75% und sollte 28*75%=21 Dukaten bekommen.

  8.   Inkompetenter

    Jeder bekommt seinen Einsatz zurück, da das Ziel 5 Spiele Sieger, nicht erreicht wurde und der Spielabbruch keinem anzulasten ist.

    Alles andere wird zu Streit führen.

  9.   Jukan

    Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A das Spiel gewinnt liegt bei 75%. Spieler B kann das Spiel nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% gewinnen. Demnach bekommt A 21 Dukaten und B 7 Dukaten.

  10.   Peter

    Spieler A sollte 21 Dukaten erhalten.

    Bei dem gegeben Spielstand, hat Spieler A eine 75%-ige Chance zu gewinnen. Zu 50% gewinnt er im nächsten Wurf. Wenn er verliert hat er im nächsten Wurf nochmal eine 50%-ige Chance, zu gewinnen (1/2 + 1/2 * 1/2 = 3/4).
    Daher sollte er 3/4 des Einsatzes, also 21 Dukaten, erhalten.

 

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