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Dümmer als eine Taube

 

In zwei früheren Beiträgen haben wir uns mit dem Ziegen-Paradoxon beschäftigt. Es ist ein Problem, mit dem viele Menschen beachtliche Schwierigkeiten haben. Tauben aber scheinbar nicht: In einer Studie schlugen sechs Tiere zwölf Studenten auf der Suche nach der besten Strategie. Es ist ein weiterer Beleg dafür, dass die menschliche Intuition beim Umgang mit Wahrscheinlichkeiten erheblichen Verzerrungen ausgesetzt ist. Ich habe schon überlegt, mir dienstlich ein paar Tauben anzuschaffen, um die Tauben-Schwarmintelligenz für knifflige Wahrscheinlichkeitsprobleme zu nutzen  ;-) Hätten wohl die Tauben auch beim abgewandelten Ziegenproblem helfen können?

Bevor ich Ihnen dessen Lösung verrate, hier das Problem erneut in aller Kürze:

Hinter einer von drei verschlossenen Türen steht als Hauptgewinn ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir Tür 1. Der Moderator rutscht aus und öffnet dabei mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der beiden anderen Türen, die sich zufällig als Ziegentür erweist. Dann gibt er Ihnen die Möglichkeit, bei Ihrer ersten Wahl zu bleiben oder zur anderen unverschlossenen Tür zu wechseln. Ist es für Ihre Gewinnchance auf den Hauptgewinn besser zu wechseln, nicht zu wechseln, oder ist es egal?

Dieses Setting unterscheidet sich insofern vom klassischen Ziegenproblem, als dass der Moderator beim Ausrutschen durch Zufall auch die Tür mit dem Auto geöffnet haben könnte. Zwar hat er das nicht, doch verändert allein die Möglichkeit die Gewinnchancen. Im klassischen Problem verdoppeln Sie Ihre Gewinnchance mittels Wechseln von 1/3 auf 2/3. Beim jetzigen Problem sind die Gewinnchancen in beiden Fällen jeweils 1/2.

Das zeigt eine Fallunterscheidung. Wenn Sie nämlich Tür 1 gewählt haben, gibt es vier zu berücksichtigende Situationen, in denen die vom Moderator geöffnete Tür eine Ziegentür ist:

  1. Auto ist hinter Tür 1 und Tür 2 wird geöffnet.
  2. Auto ist hinter Tür 1 und Tür 3 wird geöffnet.
  3. Auto ist hinter Tür 2 und Tür 3 wird geöffnet.
  4. Auto hinter Tür 3 und Tür 2 wird geöffnet.

Diese vier Situationen sind gleich wahrscheinlich unter den gegebenen Informationen über das Öffnen der Tür durch den Moderator. Da das Auto mit Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter Tür 1 ist und der Moderator in diesem Fall mit Wahrscheinlichkeit 1/2 Tür 2 öffnet, sieht man, dass Situation 1 mit Wahrscheinlichkeit 1/6 auftritt. Ebenso Situation 2.

Und selbst für Situation 3 und 4 gilt diese Wahrscheinlichkeit, da jetzt der Moderator Tür 3 – beziehungsweise Tür 2 – auch nur mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 öffnet. Im klassischen Ziegenproblem dagegen, öffnete er dann zwingend Tür 3 – beziehungsweise Tür 2. Die Wahrscheinlichkeit lag also bei 1. Das ist der Unterschied zwischen dem Originalproblem und der Zugabe.

Schauen wir uns nun die vier gleich wahrscheinlichen Situationen an: In zwei der vier Situationen gewinnen Sie beim Wechseln und in den anderen zwei beim Nicht-Wechseln. Deshalb spielt es keine Rolle, ob Sie es tun oder nicht.

Der Ablauf lässt sich natürlich auch mit einem Computer simulieren, also mit ihm gewissermaßen die Wirklichkeit wiederholt durchspielen. Man kann diese Durchläufe sogar im Kopf als Gedankenexperiment ablaufen lassen, wie es in Kommentar 47 (von mezzoforte) gemacht wird.

Bei 300-maligem Durchspielen zeigen Sie im klassischen Ziegenproblem im Schnitt 100 Mal auf eine Autotür und 200 Mal auf eine Ziegentür. Wenn Sie nicht wechseln, gewinnen Sie also 100 Mal und verlieren 200 Mal. Wenn Sie wechseln, ist es umgekehrt.

Bei der Zugabe zum Ziegenproblem ist es anders:

Im Schnitt in 100 von 300 Durchläufen zeigen Sie auf die Autotür und in 200 auf eine Ziegentür. In den 100 Durchläufen, in denen Sie auf das Auto zeigen, ändert sich gegenüber dem klassischen Setting nichts (Sie gewinnen, wenn Sie nicht wechseln).

In den 200 Durchläufen, in denen Sie auf eine Ziegentür zeigen, wird in 100 vom Moderator die andere Ziegentür geöffnet (hier gewinnen Sie, wenn Sie wechseln), und in weiteren 100 Durchläufen wird vom Moderator die Autotür geöffnet. Letztere werden als ungültig gewertet, da diese Situation nicht eingetreten ist.

Also haben wir folgendes Endergebnis der 300 Durchläufe: Im Schnitt 100 Mal gewinnen Sie, wenn Sie wechseln, ebenfalls 100 Mal, wenn Sie nicht wechseln. Und 100 Durchläufe sind ungültig. Wechseln und Nicht-Wechseln haben damit dieselbe Gewinnchance.

Interessant wäre schließlich noch eine Anwendung des Drei-Türen-Paradoxons im Alltag. Ich nenne es einmal das Drei-Männer-Paradoxon:

Angenommen, eine Mathematikerin hat drei Verehrer. Sie heiratet einen davon. Kurz nach der Hochzeit stößt sie auf eine Studie, nach der im Schnitt nur einer von drei Männern ein guter Ehemann ist. Die Freundin der Mathematikerin hat einen der beiden verschmähten Verehrer geheiratet und erzählt der Mathematikerin, dass das eine Fehlentscheidung war, da dieser kein guter Ehemann sei. Darauf lässt sich die Mathematikerin kurzerhand scheiden und heiratet den dritten Verehrer.

Okay, das war nicht ganz ernst gemeint. Haben Sie eine bessere Anwendung?

53 Kommentare

  1.   FivePoints

    Leider sind sie auf Ihr eigenes Beispiel hereingefallen.
    In der Heiratsanwendung entscheidet die Freundin der Mathematikerin sich zufällig nicht bewusst für den schlechten Ehemann. Daher würde die Mathematikerin ihre Erfolgswahrscheinlichkeiten bei einem Wechsel nicht verbessern.

  2.   Felix Schleifer

    Vielleicht lässt es sich im Berufsverkehr benutzen, wenn man drei gleich lang dauernde Wege zur Arbeit hat ;)
    Also Quasi steige ich in die U1 oder U3 oder nehme ich das Auto. Will ich Auto fahren und ein Kollege ruft an dir U3 fährt nicht muss ich die U1 nehmen xD

    Generell glaube ich jedoch das wir wenige Dinge im Leben vom Zufall abhängig machen. Deshalb fällt es uns auch so schwer man denkt immer was will der andere bezwecken und nichtwie wwahrscheinlich wird es dadurch jetzt ;)
    Tauben sind wahrscheinlich einfach unvoreingenommener als Menschen.

  3.   qwerty

    Sollte das Drei-Männer-Paradoxon nicht eher so lauten:

    „[…] Die Freundin der Mathematikerin hat seit jeher Pech bei der Männerwahl und gerät immer(!) an den Falschen. In dem Moment, in dem die Freundin einen der verschmähten Verehrer heiratet, lässt sich die Mathematikerin kurzerhand scheiden und heiratet den dritten Verehrer.“

    In ihrer Beschreibung hat die Freundin grundsätzlich auch die Möglichkeit an den Richtigen zu geraten, wodurch ein Wechsel des Mannes für die Mathematikerin keine Steigerung der Warhscheinlichkeit bedeutet, bei einem guten Ehemann zu landen.

  4.   Nicht Mathematiker

    Wechseln ist besser aus folgendem Grund: 50% aller Mathematiker sind der Meinung, es besteht kein Unterschied. 50% sind der Meinung, wechseln ist besser. Für mich ist nicht unterscheidbar, wer Recht hat. Wenn ich bei meiner Entscheidung bleibe und die Tür nicht wechsele, kann ich meine Chancen auf das Auto verringern oder sie bleiben gleich – je nach dem wem ich glaube. Wenn ich wechsele, kann ich meine Chancen verbessern oder es ändert sich nichts. Also ist die einzige Chance, mich zu verbessern bei einem Wechsel, verschlechtern kann ich mich nicht, umgekehrt können meine Chancen gleich bleiben oder sich verschlechtern. Klarer Fall für einen Wechsel.

  5.   peterinbremen

    nö, hab ich nicht. Sehr schönes Beispiel dafür, wie einfach das Rätsel im Grunde war. Und trotzdem bin ich im ersten Anlauf zum falschen Ergebnis gekommen.

  6.   peterinbremen

    na ja, dafür haben andere das offenbar immer noch nicht verstanden.

  7.   Silbermart

    Hatte die Mathematikerin überhaupt genug Zeit, um die ehelichen Qualitäten von Gatte Nr. 1 herauszufinden?


  8. Noch mehr als bei den Ziegen stellt sich weiterhin die Frage, was taugt wirklich die „heilige Kuh“ Wahrscheinlichkeitsrechnung im Alltag, wo keine 100fachen Wiederholungen des gleichen Ereignisses möglich sind.

    Es sind schon so viele Pokerspieler daran gescheitert, weil sie streng nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung spielen und glauben, so früher oder später auf der Gewinnerseite zu stehen. Nur merken sie nicht, dass ihr Leben dazu nicht ausreicht, so viele Spiele bestreiten zu können, dass die Wahrscheinlichkeiten auch wirklich greifen.

  9.   chris3351

    Meine kurze Lösung: 2 Türen bleiben verschlossen übrig. Hinter einer Tür steht das Auto. Also 50/50, es ist egal.

  10.   derderderist

    @stellator Poklerspielen eignet sich erdenklich schlecht als Beispiel da es beim Pokern zuviele Unbekannte gibt und es so nur sehr schwer zu berechnen ist. Daher ist es auch deutlich schwerer einen Pokercomputer zu programmieren als beispielsweise einen Schachcomputer. Nichts desto trotz haben beim Poker Spieler die die statistischen Chancen ihrer Karten realistisch einschätzen können auf dauer mehr erfolg.

    Beim Black Jack oder Rollet lassen sich die Chancen deutlich besser berechnen, jedoch können Sie vorallem beim Rollet (ausgehend von einem Statistisch ausgeglichenem Tisch) nur Ihren Verlust minimieren.

 

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