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Dieser Stand-up-Mathematiker bringt Ordnung in die Primzahlen

 

Auf den ersten Blick ist es verblüffend: Quadriert man eine Primzahl, dann ist das Ergebnis immer mit Rest 1 durch 24 teilbar. Einzige Voraussetzung: Die Zahl muss größer oder gleich 5 sein – und natürlich muss sie prim sein, man darf sie also ohne Rest nur durch sich selbst und 1 teilen können. Matt Parker, australischer Stand-up-Mathematiker und einer der eifrigsten Köpfe des YouTube-Channels Numberphile, zeigt in diesem Video, wie das funktioniert.

Damit belegt Parker auch, dass Strukturen in den Primzahlen existieren. Um den Beweis dahinter zu verstehen, braucht man tatsächlich nicht mehr als eine Prise Schulmathematik. Denn für Primzahlen größer oder gleich 5 gilt: Die Zahl darunter und die Zahl darüber sind beide gerade, schließlich sind Primzahlen immer ungerade. Und: Die Primzahl kann auch kein Vielfaches von 3 sein, sonst wäre sie nämlich nicht prim. Daher muss entweder die Zahl darunter oder die Zahl darüber sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sein, also durch 6.

Wir fassen zusammen: Jede Primzahl größer gleich 5 ist ein Vielfaches von 6 plus oder minus 1. Damit ist man schon fast fertig, denn die Quadrate solcher Zahlen sind eben immer mit Rest 1 durch 24 teilbar. Für diesen letzten Schritt braucht man kaum mehr als ein bisschen Schmier- oder – wie im Fall von Matt Parker – Numberphile-Packpapier.

Weitere Netzfundstücke gibt's im Teilchen-Blog.


15 Kommentare

  1.   Nachdenken und Handeln

    Nice
    :))
    So lange darauf gewartet

  2.   Nachdenken und Handeln

    *Nice
    :))
    So lange darauf gewartet*

  3.   Zeitnahe Antwort

    Stimmt, sobald man mit Stift und Papier das Problem analytisch angeht, kommt man auch auf den Beweis. Aber im ersten Moment war ich dennoch überrascht, dass prim² = 1 (mod 24) tatsächlich richtig sein soll. Gerne mehr davon! :D

  4.   Kioto-Zeit

    So wirklich neu scheint die Sache aber nicht zu sein.
    Siehe z.B. http://www.brefeld.homepage.t-online.de/teilbar-24.html

  5.   RFC2460

    2^31 – 1 ist eine Mersenne-Primzahl…
    2^31 – 1 mod 24 ist aber 7 und nicht 1 ?

    Hab ich was nicht richtig verstanden?

  6.   Heinz Hermann Bauer

    Wer in der Schule aufgepasst hat und weiß, was das Sieb des Eratosthenes ist, lehnt sich bei dem Artikel entspannt zurück. Durch Vervielfältigung lassen sich Primzahlen ermitteln. Und wer bis 10 zählen kann, hat keine Probleme mit Vielfachen und der Ermittlung von Primzahlen.

  7.   Informatiker01

    „2^31 – 1 ist eine Mersenne-Primzahl…
    2^31 – 1 mod 24 ist aber 7 und nicht 1 ?“
    Sie haben das Quadrieren vergessen :)

  8.   Salamander Lurchi

    @RFC2460:

    Sie müssen die Primzahl ja erst quadrieren!

    ((2^31 – 1)^2) mod 24 = 4611686014132420609 mod 24 = 1

  9.   Ibims der Sheriff

    Es sollte aber noch erwähnt werden, dass die oben bewiesene Aussage nicht nur für Primzahlen größer als 3 gilt, sondern für alle weder durch 2 noch durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen.

  10.   Harka Lasch

    Mathematik wird von den allermeisten Menschen als zahlenspilerei verstanden, weil man im Alltag für gewöhnlich kleineren Additionen, Multiplikationen etc. kaum rechnet. Schon mit Brüchen und Stellen hinter dem Komma hat so mancher Schwierigkeiten. Grundsätzlich haben zu viele Menschen Probleme mit Textaufgaben, wo man Gleichungen aufstellen müsste mit einer oder zwei unbeannten Zahlen. Diese Fähigkeiten wären aber nötig, wenn man Geschehensabläufe im z.B. Arbeitsbereich oder Wirtschaften annähernd verstehen soll. Darum haben viele Menschen dazu zwar eine Meinung aber kaum die richtige. Pytagoras war Mystiker. Für ihn und seine Anhänger war alles im Leben „Zahl“. Wer von Ihnen weiß denn, inwieweit Werbung, Meinungsforschung und Sozialwissenschaften menschliche Eigenschaften und Verhaltensweisen in Zahlengrößen ausdrücken, um eine Rechnung aufzumachen, die dann zeigt, aus welchem Verhalten man Profit schlagen kann. Und ich meine damit keineswegs Statistiken sondern Gleichungen.

 

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